数学建模十大算法总结[1]

建模十大算法总结：

1、蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具。

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo 、Lingo 、MATLAB 软件实现。

4、图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7、网格算法和穷举法。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8、一些连续离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9、数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10、图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理。

从历年竞赛题来看，常用的方法：

线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 层次分析法

图论方法 拟合方法 插值方法 随机方法 微分方程方法

一、蒙特卡洛算法

1、含义的理解

以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

2、算法实例（有很多相似的例题，包括平行线等）

在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。

已知：K=

1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4

Pi ，求Pi 。 由1s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n

， 而s1=4Pi ，则Pi=*4m n

程序：（该算法可以修改后用Mathematica 计算或者Matlab ）

/* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/

/*程序使用：VC++6.0 */

#include

#include

#include

#define COUNT 800 /*循环取样次数，每次取样范围依次变大*/ void main()

{

double x,y;

int num=0;

int i;

for(i=0;i

{

x =rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在中*/ y =rand()*1.0/RAND_MAX;

i f((x*x+y*y)<=1)

num++; /*统计落在四分之一圆之内的点数*/

}

printf("Pi 值等于：%f\n",num*4.0/COUNT);

}

结果： 测试6次的结果显示：

循环取样次数

求得的Pi 值 800

3.085000 8000

3.110000 80000

3.135200 800000

3.139150 8000000

3.141393

80000000 3.141321

可以看出:随着点数的增加，求得的Pi 值渐渐接近真实值。

如果加入程序：srand(time(NULL)); ，同时循环取样次数一定，让取样结果随时间变化，当取样次数为80000000时，可得6次的结果显示：

3.141290 3.141400 3.141268 3.141484 3.141358 3.141462

3、应用的范围

蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运

计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

4、参考书籍

[1]蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 [2]蒙特卡罗方法引论

二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

（1）数据拟合

在Mathematica 中，用Fit 对数据进行最小二乘拟合：Fit[data ,funs ,vars ]

在Matlab 中，工具箱（toolboxes ）中有曲线拟合工具（curve Fitting ）。 实例：

2010年苏北赛B 题 温室中的绿色生态臭氧病虫害防治 中关于中华稻蝗密度与水稻减产率之间的关系可以通过数据拟合来观察（简单举例，没有考虑全部数据） 数据：

密度（头/m 2） 3

10 20 30

40 减产率（%） 2.4 12.9 16.3 20.1 26.8 程序（Mathematica ）：

data={{3,2.4},{10,12.9},{20,16.3},{30,20.1},{40,26.8}};

a1=Fit[data,{1,x,x^2,x^3},x]

Show[ListPlot[data,Filling->Axis],Plot[{a1},{x,0,60}]]

结果：

-3.68428+2.38529 x-0.0934637 x 2+0.00132433 x 3

（2）参数估计（参考书：概率论与数理统计）

参数估计为统计推断的基本问题，分为点估计和区间估计。

点估计：

①矩估计法

X 连续型随机变量，概率密度12(;,,)n f x θθθ

X 为离散型随机变量 分布律12{}(;,,,)k P X x p x θθθ==

12,,,k θθθ 为待估参数，12,,n X X X 是来自X 的样本，假设总体X 的前k 阶矩存在，为

12()(;,,)l

l l n E X x f x dx μθθθ∞

-∞

==? （X 连续型）

或1

2

()(;,,,)X

l l

l k

x R E X x p x μθθθ∈==

∑ （X 离散型）1,2,,l k = （其中X

R

是X 可能取

值的范围）。一般来说，它们是12,,,k θθθ 的函数。基于样本矩1

1n l

l i i A X n ==∑依概率收敛

于相应的总体矩(1,2,)l l k μ= ，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。这种估计方法成为矩估计法。 ②最大似然估计法

X 连续型随机变量 似然函数 121

()(,,,;)(;)n n i

i L L x x x f x θθθ===∏ 其中1

(;)

n

i

i f x θ=∏是来自X 的样本12,,n X X X 的联合密度。

X 为离散型随机变量 似然函数121

()(,,,;)(;),n

n i

i L L x x x p x …… 此处隐藏：19733字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……