人教B数学必修四课时分层作业 用平面向量坐标表示向量共线条件

课时分层作业(二十) 用平面向量坐标

表示向量共线条件

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( )

A ．a ＝(－2,4)，b ＝(0,3)

B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)

C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,7)

D ．a ＝(4，－2)，b ＝(－8,4)

D [对于D 选项b ＝－2a ，即a ∥b ，故a 与b 不能作为平面内所有向量的一组基底．]

2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )

A ．－2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0

C [由a ∥b ?m 2＝1×2?m ＝2或m ＝－ 2.]

3．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )

A ．－13

B ．9

C ．－9

D ．13 C [设C (6，y )，∵AB →∥AC →，

又AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，

∴－8×(y ＋6)－3×8＝0，∴y ＝－9.]

4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝? ????12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，

故θ＝45°.]

5．在ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( ) A.? ??

??－12，5 B.? ????－12，－5 C.? ????12，－5 D.? ??

??12，5 B [由向量加法的平行四边形法则可得AC →＝AD →＋AB →＝(3,7)＋(－2,3)＝

(1,10)，

∴CO →＝－12AC →＝? ??

??－12，－5.] 二、填空题

6．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．

? ????0，72或? ??

??73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)． 设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .

由????? －2λ＝x －1，3λ＝y －2，?????? x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，

又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，

所以B ? ????0，72或? ??

??73，0.] 7．向量a ＝(1，－2)，向量b 与a 共线，且|b |＝4|a |，则b ＝________. (4，－8)或(－4,8) [因为b ∥a ，令b ＝λa ＝(λ，－2λ)，

又|b |＝4|a |，

所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b ＝(4，－8)或(－4,8)．]

8．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. －1 [a 与b 共线，则x 2－1＝0，解得x ＝±1，

当x ＝1时，a ＝b ，不合题意；

当x ＝－1时，a ＝－b ，满足题意．]

三、解答题

9．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和向量CD →的

坐标．

[解] 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，

DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)，

因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，

所以(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，

(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，

则有????? x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和????? －1－x 2＝1，2－y 2＝2，

解得????? x 1＝0，y 1＝4，和????? x 2＝－2，y 2＝0.

所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，

CD →＝(－2，－4)．

10.如图，在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是OB 的靠近B 点的一个三等分

点，DC 与OA 交于点E ，若OE →＝λOA →，求实数λ的值．

[解] ∵C ，E ，D 三点共线，

∴存在实数x ，有CE →＝xCD →，

∴OE →－OC →＝x (OD →－OC →)，

∴λOA →－OC →＝x ? ??

??23OB →－OC →， 又点A 是CB 的中点，

∴λ·12(OB →＋OC →)－OC →＝x ? ??

??23OB →－OC →， ∴λ2OB →＋? ??

??λ2－1OC →＝23xOB →－xOC →， ∴????? λ2＝23x ，

λ2－1＝－x ，

∴λ＝45.

[等级过关练]

1．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向

相同且为单位向量)，AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )

A ．1,2

B ．2,2

C ．3,2

D ．2,4

B [因为AB →＝(1,2)，D

C →＝(3－x,4－y )，

又AB →∥DC →，所以4－y －2×(3－x )＝0，

即2x －y －2＝0，可知B 合适．]

2．已知a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( )

A.34

B ．－34 C.43 D ．－43

A [∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，即tan α＝34.]

3．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在，则实数a 的取值范围是________．

[－1，＋∞) [∵a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )

且满足a ∥b .

∴6(x 2－2x )－6a ＝0，即x 2－2x －a ＝0.

因为存在实数x ，则方程有解，

所以Δ＝4＋4a ≥0，∴a ≥－1，

即a 的取值范围是[－1，＋∞)．]

4．已知O (0,0)和A (6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且OP P A ＝12，又点P 是线

段OB 的中点，则B 点的坐标是________．

(4,2) [∵OP P A ＝12，∴OP OA ＝13.

∵O (0,0)和A (6,3)，∴OP →＝13OA →＝(2,1)．

又P 为OB 的中点，

∴OB →＝2OP →＝(4,2)，

即B 点坐标为(4,2)．]

5．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．

[解] 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，

∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)， F (6,4)，E (3,0)，

设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，

AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，

得????? 4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴??? x ＝92，y ＝3，

∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB

＝36－12×3×3－12×3×6＝452.