时间序列分析方法 (刘金全)

时间序列分析讲义

Time Series Analysis

吉林大学商学院刘金全

时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。

时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。

目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。

本课程将介绍时间序列分析的基本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。

主要参考书目：

[1] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976.

[2] Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995.

[3] Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second edition, Cambridge University Press, 1999.

[4] 李子奈, 叶阿忠, 高等计量经济学, 清华大学出版社, 2000年.

[5] Hargreaves, C. P., Nonstationary Time Series Analysis and Cointegration, Oxford University Press, 1994.

[6] Kim, C. J. and Nelson, C. R., State-Space Models with Regime Switching: Classical and Gibbs-Sampling Approaches with Applications. The MIT Press, 1999.

[7] Banerjee, A., Dolado, J. J. and Hendry, D. F., Cointegration, Error Correction and the Economic Analysis of Non-Stationary Data, Oxford University Press, 1993.

[8] Hendry, D. F., Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995.

[9] Barnett, W. A., Kirman, A. P. and Salmon, M., eds., Nonlinear Dynamics and Economics, Cambridge University Press, 1996.

[10] Harvey, A. C., Forecasting Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, 1989.

第一章 差分方程

差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程

假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：

t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。

例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：

ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-

上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。

1.1.1 差分方程求解：递归替代法

差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ

1=t ：10101w y y ++=φφ

t t =：t t t w y y ++=-110φφ

依次进行叠代可以得到：

1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ

0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-

i t

i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)

上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。

1.1.

2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier)

在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：

t t w y 10

φ=?? (1.3) 类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到：

j t

j t w y 1φ=??+ (1.4) 上述乘子仅仅依赖参数1φ和时间间隔j ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。

例1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：

t

t t t t t t t I w I w w m I m ??=?????=??++2122φ 利用差分方程解的具体系数，可以得到：

19.0=??t

t I w ，72.01=φ 从而可以得到二阶乘子为：

098.02=??+t

t I m 注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。

定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：

j t

j t j w y L 1φ=??=+， ,1,0=j (1.5) 显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。

(1) 当101<<φ时，反应函数是单调收敛的；

(2) 当011<<-φ时，反应函数是震荡收敛的；

(3) 当11>φ时，反应函数是单调扩张的；

(4) 当11-<φ时，反应函数是震荡扩张的；

可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当1||1<φ时，反应函数是收敛的；当1||1>φ时，反应函