2022年佳木斯大学学科教学(数学)之高等代数复试仿真模拟三套题

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目录

2018年佳木斯大学学科教学（数学）之高等代数复试仿真模拟三套题（一） (2)

2018年佳木斯大学学科教学（数学）之高等代数复试仿真模拟三套题（二） (8)

2018年佳木斯大学学科教学（数学）之高等代数复试仿真模拟三套题（三） (13)

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2018年佳木斯大学学科教学（数学）之高等代数复试仿真模拟三套题（一）

特别说明：

1-本资料为2018复试学员内部使用，严格按照2018复试常考题型及难度全真模拟预测。 2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、分析计算题

1． 设

求的基与维数,其中

【答案】设得齐次线性方程组

将系数矩阵A 用行初等变换化为简化阶梯形矩阵:

（1）

方程组的一般解为

是自由未知量,取其基础解系为_则

是

的基,

由（1）知是的极大无关组,故

是

的基,且dim

2． 实二次型

的正、负惯性指数分别为p, q,则

可表成两两正交的子空间

的

直和:,其中

的维数分别为且对于

中的非零向量

都有

对于

中非零向量

都有

而对

中

都有 【答案】设

其中,

令

为n 阶单位阵

的第i 列,

并取

,

如

由

知

所以

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同理可证,

.

下证:

事实上,的任二生成元内积:

所以

同理

因此是直和,故

所以

3． 设

①用初等变换求A 的标准形（对角矩阵）A ，并给出相应的满秩方阵P 使

②再通过满秩线性代换验算所得的二次型

的标准形.

【答案】①对A 施行相同的列与行的初等变换，化为标准形

②因为.故若

则得

易验算

故以上标准形正确.

4． 设A 为n 阶方阵，证明：

【答案】当时，有

而

所以

当时，有

当时，从而

显有

当

时，有

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结合n>2时知

故仍有

5． 设A 是

矩阵，如果对任一n 维向量

都有

【答案】取n 维向量空间中n 个单位向量它们都是的解，因而是基础解

系.

它有n 个向量，

中的未知数也是n ，故

秩

即

6． 设f （x ）与g （x ）为P[x]上两个次数大于0的多项式.

证明:若则

使

其中，并且满足这样条件的是唯一的.

【答案】因为故存在

，使

（1）

由于

的次数均大于0,故

，令

代入式（1）得

由此等式知

从而有

（2）

设还有

（3）

其中

式（2）式（3）得

于是

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结合（g （X ），f （x ））=1知

但

所以，从而

同理

7． 设A 是

非零方阵，则有正整数

【答案】由于故有

如果秩，即A 可逆，则，

这时如果秩

，

由

则中不能全不为零，

否则每个秩，

就有

因而n ，与所设矛盾. 于是有

使

下面证明对任何1若

于是依次取1=k ,k+1,k+2 就得到

现设.考虑n 次方程组

（1） 和

（2）

显然（1）的解是（2）的解.又，（1）（2）的基础系中有相同数目的解，

于是（1）的基础解系也是（2）的基础解系，于是（1）与（2）同解.

再考虑齐次方程组

（3）

显然（2）的解是（3）的解.对（3）的任一解.有

即是（2）的解，因此是（1）的解，于是

因而

是（2）的解，这证明了

齐次方程组（2）与（3）是同解的，它们的系数矩阵必有相同的秩，即秩

.完成

了证明.