高数第九章 复合求导

第四节一元复合函数求导法则 微分法则

第九章

多元复合函数的求导法则

本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分目录 上页 下页 返回 结束

一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t

z f (u, v)

z

ut

vt

证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v目录

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z z u z v o( ) 2 2 ( ( u ) ( v) ) t u t v t t

则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt o( )

zut

vt

(△t<0 时,根式前加“–”号)

d z z d u z dv d t u d t v d t

( 全导数公式 )目录 上页 下页 返回 结束

说明:

若定理中

偏导数连续减弱为

偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v , u 2 v2 0 2 2 例如: z f (u, v) u v

u t, v t易知:

0,

u 2 v2 0

但复合函数 z f ( t , t ) t 2 z du z dv dz 1 0 1 0 1 0 u d t v d t dt 2目录 上页 下页 返回 结束

u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3

设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,推广:

zu v wt t t

2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,

z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y) z z u z v f1 1 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y目录

zu v

x上页

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y结束

又如,

z f ( x, v) , v ( x, y)

当它们都具有可微条件时, 有

z f

z f x x z y

f1 f 2 1 f2 2

x

vx y

z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x目录

口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导

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例1. 设

z z z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v xu

e sin vu

e cos v 1u

zu v

z y

z v v y

x y x y

eu sin v

eu cos v 1

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例2.

u f ( x, y , z ) e

x2 y2 z 2

u f 解: x x 2 xex2 y2 z 2

u u , z x sin y, 求 , x

y2

2z e2

x2 y2 z 2

2 x sin y

ux y z

2 x (1 2 x sin y ) e2

x 2 y 2 x 4 sin 2 y

u f f z y y z y

x

y

2ye

x2 y2 z 24

2 z e

x 2 y 2 z 2 x 2 cos y x 2 y 2 x 4 sin 2 y

2 ( y x sin y cos y ) e

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dz 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt d z z du z 解: z d t u d t tt

vet

t

cos t

u v t

e (cos t sin t ) cos t

t

t

注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.

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例4. 设

f 具有二阶连续偏导数,

w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w f2 yz x y z f 2 ( x y z, x y z ) 2w f12 x y f 22 x y x z 2 f z f y f 2 f f11 ,y引入记号 x ( x z ) f12 f y ,22f 2 , 为简便起见 1 12 u u v目录 上页 下页 返回 结束

例5. 设

二阶偏导数连续,求下列表达式在

极坐标系下的形式

解: 已知

,则

u u u r (1) x r x

r

x yx y

y (当 在二、三象限时, arctan ) x u u sin cos r r目录 上页 下页 返回 结束

u u r u y r y y r y , y r x 2 y 2 y 1 ( x ) x y21 x

ur

x yx y

u y u x u u u sin cos 2 r r r x r r u u cos sin r r u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x y r r 题目 目录 上页 下页 返回 结束

u u u sin 已知 cos x r r 2u

u sin u u r ) ( 2) (( ) ) cos ( r x x 2 r x x x x yx y u u sin ( cos ) cos 注意利用 r r r 已有公式 u sin sin u cos ( ) r r r

u u x

2 u 2 sin cos u sin 2 r r r2目录 上页 下页 返回 结束

2u x2

同理可得

u 2 sin cos u sin 2 2 r r r

2u 2u 2 2u sin cos 2u cos 2 sin 2 2 2 2 r r y r r2 u 2 sin cos u cos 2 2 r r r 2 1 2u 2u 2u u 2 2 2 2 2 r r x y u 2u 1 2 r (r ) 2 r r r题目 目录 上页 下页 返回

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二、多元复合函数的全微分

设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y

du

dv

可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达

形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束

例 6.

利用全微分形式不变性再解例1.u

解: d z d( e sin v )

e cos v dvu

d (x y)( yd x xd y)

d ( x y) (dx d y ) dy

e x y [ y sin( x y ) cos( x y)]d x所以

z z 例1 . z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x yu目录 上页 下页 返回 结束