初等模型_《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶__俊

第二章

初等模型

2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途

2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛

2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化

2.1问 题

公平的席位分配

三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。

系别 学生 比例

20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4

21席的分配

比 例 加 惯 例

人数 (%) 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0

总和 200

100.0

20.0

20

对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21

―公平”分配方 法 人数 席位A方 B方 p1 p2 n1 n2

衡量公平分配的数量指标当p1/n1= p2/n2 时，分配公平

若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平

p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度

p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同

p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!

―公平”分配方 法p 1 / n1 p 2 / n 2 p2 / n2

将绝对度量改为相对度量

若 p1/n1> p2/n2 ,定义 r A ( n1 , n 2 ) ~ 对A的相对不公平度

类似地定义 rB(n1,n2)

公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平

应讨论以下几种情况

初始 p1/n1> p2/n2

1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , 应计算rB(n1+1, n2) 3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!

若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给ArA, rB的定义2 p2 2 p1

n 2 ( n 2 1)

n1 ( n1 1)

该席给A 否则, 该席给B

定义 Q i

pi

2

n i ( n i 1)

, i 1, 2 , 该席给Q值较大的一方2

推广到m方 分配席位

计算 Q i

pi

n i ( n i 1)

, i 1, 2, , m

该席给Q值最大的一方

Q 值方法

三系用Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3

用Q值方法分配 第20席和第21席632

第20席

Q1

103

2

10 11

96 . 4 , Q 2

6 7

94 . 5 , Q 3

34

2

3 4

96 . 3

Q1最大，第20席给甲系 第21席Q1 1032

11 12

80 . 4 , Q 2 , Q 3

同上

Q3最大，第 21席给丙系

Q值方法 分配结果

甲系11席，乙系6席，丙系4席

公平吗？

进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗

?

席位分配的理想化准则已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N), ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi

qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2) Q值方法满足 2), 但不满足 1)。令人遗憾！

2.2 录像机计数器的用途问 题经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。

在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目？

思考要求

计数器读数是均匀增长的吗？不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。

观察

计数器读数增长越来越慢！

问题分析 录像机计数器的工作原理左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器

录像带运动方向录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢

录像带运动速度是常数

右轮转速不是常数

模型假设 录像带的运动速度是常数 计数器读数

v;

n与右轮转数 m成正比，记 m=kn; w;

录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 空右轮盘半径记作 时间

r;

t=0 时读数 n=0 .建立时间t与读数n之间的关系 (设v,k,w ,r为已知参数)

建模目的

模型建立建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以

2 ( r wi ) vti 1

m

m kn 2 rk v

t

wkv

2

n

2

n

模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即 [( r wkn ) r ] wvt2 2

3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有( r wkn ) 2 kdn vdt

t

2

wkv

n

2

2 rk v

n

思 考 m i 1

3种建模方法得到同一结果

2 ( r wi ) vt2 2

[( r wkn ) r ] wvt

t

wkv

2

n 2

2 rk v

n

( r wkn ) 2 kdn vdt

但仔细推算会发现稍有差别，请解释。

思 考

模型中有待定参数 r , w , v , k ,

一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。

参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作 t an2

bn ,

只需估计 a,b

理论上，已知t=184, n=6061,

再有一组(t, n)数据即可

实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据： 用最小二乘法可得a 2 . 61 10 b 1 . 45 10 6 2

t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051

60 2760 160 5525

80 3413 184 6061

,

.