北京科技大学线性代数课件ch3_3

第三章 向量空间3.1 向量空间的概念

3.2 向量的线性关系3.3 向量组的秩 3.5 矩阵的秩

线性代数3-3

复习 三种向量的线性关系： Rn (1)向量与向量组的关系：A : 1 , 2 , , m, k1 1 k2 2 km m span( A)(2)两个向量组的关系：A : 1 , 2 , , m ; B : 1 , 2 , , s 等价 span 1 , 2 , , m =span 1 , 2 , , s (3)向量组的线性相关：A : 1 , 2 , , m 若存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km 使得 k1 1 k2 2 km m 0. 线性无关: k1 1 k2 2 km m 0 k1 k2 km 0.

线性代数3-3

复习定理3.3 向量 b 可由A: 1 , 2 m 线性表示 方程组 x1 1 x2 2 xm m b 有解.初等行变换 定理3.5 A B A与B的行向量组等价

定理3.7 1 , 2 ,

, s 线性相关 x1 1 x2 2 xs s 0 有非零解.线性无关 只有零解.

定理3.8 部分组 相关 无关

无关 整个组 相关

定理3.9 向量组线性无关, 添加分量所得向量组 线性无关 向量组线性相关, 减少分量所得向量组 线性相关 定理3.10 A : 1 , 2 , , m 线性无关, B : 1 , 2 , , m , 线性相关, 则向量 必可由 A线性表示, 且表示法惟一.

线性代数3-3

复习定理3.11 (1) 1 , 2 , , r (1)可由(2)线性表示, (2) 1 , 2 , , s 若r > s , 则向量组(1)线性相关. 推论1 若向量组(1) 线性无关, 则 r s . 推论2 推论3 两个等价线性无关向量组 所含向量的个数相同. 任意 n+1 个 n 维向量均 线性相关.

线性代数3-3

判断线性相关性：

a11 a12 a21 a22 向量组 1 , 2 , a n1 an 2

a1 s a2 s , s , ans

(1) 当 n < s, 线性相关. (2) 当 n = s, 当 A 0, 线性无关. 当 A 0, 线性相关. (3) 当 n > s, 行变换 A 行阶梯阵 非零行数r(A)= s, 线性无关. 非零行数r(A)< s, 线性相关.

x1 1 x2 2 a11 a21 A an1 a12 a22 an 2

xs s 0a1 s a2 s ans

线性代数3-3

第三章 向量空间3.3 向量组的秩

向量组的极大线性无关组 向量组的秩 向量空间的基 维数 坐标 基变换与坐标变换 欧氏空间

线性代数3-3

1.向量组的极大线性无关组 A : 1 , 2 , , r , r 1 , r 2 , , m 定义3.16 若向量组 A 的一个部分组 A0: 1 , 2 , , r 满足 (1) A0 : 1 , 2 , , r 线性无关; (2) A 中的任意向量均可由 1 , 2 , , r 线性表示. 则称 A0: 1 , 2 , , r 为向量组A的一个极大线性 无关向量组, 简称为极大(最大)无关

组. 分析: (1) A0 : 1 , 2 ,

, r , i (i r 1) 线性相关 , r 线性表示.

(2) i A (i r 1) 可由 1 , 2 ,

线性无关

所以 A0 : 1 , 2 , , r 的线性无关性在A不能再扩大, 因此称 A0 是 A 极大无关组。线性代数3-37

1.向量组的极大线性无关组 A : 1 , 2 , , r , r 1 , r 2 , , m 定义3.16 若向量组 A 的一个部分组 A0: 1 , 2 , , r 满足 (1) A0 : 1 , 2 , , r 线性无关; (2) A 中的任意向量均可由 1 , 2 , , r 线性表示. 则称 A0: 1 , 2 , , r 为向量组A的一个极大线性

无关向量组, 简称为极大(最大)无关组.问题： 1)向量组 A : 1 , 2 ,

, r 线性无关, A的极大无关组 ?

2)向量组 A : 0,A的极大无关组 ?线性无关组的极大无关组是它本身.线性代数 只含有零向量的向量组没有极大无关组 . 3-38

例

11 1 4 7 A : 1 2 , 2 5 , 3 7 , 4 10 . 13 3 6 9 求A的极大无关组.线性无关 线性无关 ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 , 2 , 3 线性无关， 而 1 , 2 , 3 , 4 线性相关， 所以 1 , 2 , 3 是向量组A极大无关组. 1 1 0, 1 , 2 不平行， 1 , 2

解

线性代数3-3

例

11 1 4 7 A : 1 2 , 2 5 , 3 8 , 4 12 . 13 3 6 9 求A的极大无关组.

向量组的极大无关组是惟一的吗？ 解 问题： 而 1 , 2 , 3 , 4 ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 , 2 , 3 线性无关，

线性相关，所以 1 , 2 , 3 是向量组A极大无关组.( 1 , 3 , 4 ) 0 1 , 3 , 4 线性无关，而 1 , 2 , 3 , 4

线性相关，所以 1 , 3 , 4 也是向量组A极大无关组. 结论： 一般地, 向量组的极大无关组不惟一.线性代数3-310

例

n维单位坐标向量组 1 , 2 ,

, n

n R 是 的一个极大无关组. 证明： n 在向量空间 R 中, 1 , 2 , , n 线性无关, 且 n R 中任一向量均可由 1 , 2 , , n 线性表示, 故 1 , 2 , , n 是 R n 的一个极大无关组.

a1 1 0 a2 0 1 a1 a2 0 0 an

0 0 an 1

线性代数3-3

例 例

n维单位坐标向量组 1 , 2 ,n R 是 的一个极大无关组.

, n, n

R n 中任意n个线性无关向量组 1 , 2 ,

n R 也是 的一个极大无关组. 证明： 因为 1 , 2 , , n 线性无关, 对任意 n 维向量

由于n+1个n维向量 1 , 2 ,

, n , 线性相关,

故 可由 1 , 2 , , n 线性表示. 所以 1 , 2 , , n 也是 R n 的一个极大无关组. 结论: R n 的极大无关组所含向量的个数相同,都为 n.线性代数3-312

例：R 3

R3

30

1 1 0 0 (1) 1 0 , 2 1 , 3 0 是 R 3的一个极大无关组. 0 0 1 1 1 0 (2) 1 1 , 2 0 , 3 1 也是 R 3 的一个极大无关组. 0 1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 , 2 , 3 线性无关 0 1 1

2

R 1

3

3

o

span 1 , 2 , 3 span 1 , 2 , 3 R 3

213

线性代数3-3

由极大无关组的定义可得以下三个结论:(1) 向量组 A 与它的极大无关组 A0 等价. 证明： 因为 A0 是 A 的部分组, 所以 A0 可由 A 线性表示. 又 A 可由 A0线性表示. 故 A 与它的极大无关组 A0 等价.

A : 1 , 2 ,

, r , r 1 , r 2 ,

, m 0 m

1 1 1 0 2

A0

0 r 0 r 1 0 r 2

向量组的极大无关组的作用：span A =span A0 线性代数3-314

向量组极大无关组的作用： 1 0 0 1 1 0 0 , 2 1 , 3 0 , 1 1 , 2 0 , 3 1 例：R 3 1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 0 3 由于 2 1 0 2 3 而 1 , 2 , 3 线性无关 3 0 1 2 3

所以 1 , 2 , 3 是该向量组的极大无关组。 span 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 span 1 , 2 , 3 R 3 3 3 极大无关组是生 …… 此处隐藏：2121字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……