高等代数(北大第三版)习题答案I

本文档是标准的北大(第三版)高等代数习题答案,一共分为三个部分。

高等代数（北大*第三版）答案

目录

第一章 多项式 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章

注：

答案分三部分，谢！

行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 —矩阵

欧氏空间

双线性函数与辛空间

该为第一部分，其他请搜索，谢

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第一章 多项式

1． 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)： 1）f(x) x 3x x 1,g(x) 3x 2x 1； 2）

3

2

2

f(x) x4 2x 5,g(x) x2 x 2。

解 1）由带余除法，可得q(x)

2

17262x ,r(x) x ； 3999

2）同理可得q(x) x x 1,r(x) 5x 7。 2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x mx 1|x px q， 2）x mx 1|x px q。

解 1）由假设，所得余式为0，即(p 1 m)x (q m) 0，

2

2

4

2

2

3

p 1 m2 023

所以当 时有x mx 1|x px q。

q m 0

m(2 p m2) 0

2）类似可得 ，于是当m 0时，代入（2）可得p q 1；而当2

q 1 p m 0

2 p m2 0时，代入（2）可得q 1。

综上所诉，当

m 0 q 1242

或 时，皆有x mx 1|x px q。 2

p q 1 p m 2

3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：

1）f(x) 2x 5x 8x,g(x) x 3； 2）f(x) x x x,g(x) x 1 2i。 解 1）

3

25

3

q(x) 2x4 6x3 13x2 39x 109r(x) 327

。

；

2）

q(x) x2 2ix (5 2i)r(x) 9 8i

4．把f(x)表示成x x0的方幂和，即表成

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c0 c1(x x0) c2(x x0)2 ... cn(x x0)n

1）f(x) x,x0 1；

2）f(x) x 2x 3,x0 2；

4

2

5

的形式：

3）f(x) x 2ix (1 i)x 3x 7 i,x0 i。

解 1）由综合除法，可得f(x) 1 5(x 1) 10(x 1) 10(x 1) 5(x 1) (x 1)； 2）由综合除法，可得x 2x 3 11 24(x 2) 22(x 2) 8(x 2) (x 2)； 3） 由综合除法，可得x 2ix (1 i)x 3x (7 i)

4

3

2

4

2

2

3

4

2

3

4

5

432

(7 5i) 5(x i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (x i)4。

5．求f(x)与g(x)的最大公因式：

1）f(x) x x 3x 4x 1,g(x) x x x 1； 2）f(x) x 4x 1,g(x) x 3x 1；

3

）f(x) x 10x 1,g(x) x 6x 1。 解 1）(f(x),g(x)) x 1； 2）(f(x),g(x)) 1；

3

）(f(x),g(x)) x 1。

6．求u(x),v(x)使u(x)f(x) v(x)g(x) (f(x),g(x))。 1）f(x) x 2x x 4x 2,g(x) x x x 2x 2； 2）f(x) 4x 2x 16x 5x 9,g(x) 2x x 5x 4； 3）f(x) x x 4x 4x 1,g(x) x x 1。 解 1）因为(f(x),g(x)) x 2 r2(x) 再由

2

4

3

2

2

4

3

2

3

2

4

3

2

4

3

2

4

3

3

2

4

3

2

3

2

42432

2

f(x) q1(x)g(x) r1(x)

，

g(x) q2(x)r1(x) r2(x)

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解得

r2(x) g(x) q2(x)r1(x) g(x) q2(x)[f(x) q1(x)g(x)] [ q2(x)]f(x) [1 q1(x)q2(x)]g(x)u(x) q2(x) x 1

v(x) 1 q1(x)q2(x) 1 1(x 1) x 2

。

，

于是

2）仿上面方法，可得(f(x),g(x)) x 1，且u(x)

3

2

1122

x ,v(x) x2 x 1。 3333

3）由(f(x),g(x)) 1可得u(x) x 1,v(x) x x 3x 2。

７．设f(x) x (1 t)x 2x 2u与g(x) x tx u的最大公因式是一个二次多项式，求t,u的值。 解 因为

3

2

3

2

f(x) q1(x)g(x) r1(x) (x3 tx2 u) (x2 2x u)g(x) q2(x)r1(x) r2(x)

(x (t 2))(x2 2x u) (u 2t 4)x u(3 t)，

，

且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式r2(x)为0，即

(u 2t 4) 0

，

u(3 t) 0

从而可解得

u1 0 u2 2

或 。 t 2t 3 1 2

８．证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。

证 易见d(x)是f(x)与g(x)的公因式。另设 (x)是f(x)与g(x)的任一公因式，下证

(x)|d(x)。

由于d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，这就是说存在多项式s(x)与t(x)，使

d(x) s(x)f(x) t(x)g(x)，

从而由 (x)|f(x), (x)|g(x)可得 (x)|d(x)，得证。

９．证明：(f(x)h(x),g(x)h(x)) (f(x),g(x))h(x)，(h(x)的首系数为１）。 证 因为存在多项式u(x),v(x)使(f(x),g(x)) u(x)f(x) v(x)g(x)，

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所以(f(x),g(x))h(x) u(x)f(x)h(x) v(x)g(x)h(x)， 上式说明(f(x),g(x))h(x)是f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个组合。 另一方面，由(f(x),g(x))|f(x)知(f(x),g(x))h(x)|f(x)h(x)， 同理可得(f(x),g(x))h(x)|g(x)h(x)，

从而(f(x),g(x)h)是x(f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又因为

(f(x),g(x)h)的首项系数为１，所以x((f(x)h(x),g(x)h(x)) (f(x),g(x))h(x)。

１０．如果f(x),g(x)不全为零，证明：

f(x)g(x)

, 1。

(f(x),g(x))(f(x),g(x))

证 存在u(x),v(x)使(f(x),g(x)) u(x)f(x) v(x)g(x)， 又因为f(x),g(x)不全为０，所以(f(x),g(x)) 0，

由消去律可得1 u(x)

f(x)g(x)

， v(x)

(f(x),g(x))(f(x),g(x))

所以

f(x)g(x), 1。

(f(x),g(x))(f(x),g(x))

11．证明：如果f(x),g(x)不全为零，且u(x)f(x) v(x)g(x) (f(x),g(x))，那么

(u(x),v(x)) 。1

证 由上题证明类似可得结论。

12．证明：如果(f(x),g(x)) 1,(f(x),h(x)) 1，那么(f(x),g(x)h(x)) 1。 证 由假设，存在u1(x),v1(x)及u2(x),v2(x)使

u1(x)f(x) v1(x)g(x) 1 （1） u2(x)f(x) v2(x)h(x) 1 （2）

将（1）（2）两式相乘，得

[u1(x)u2(x)f(x) v1(x)u2(x)g(x) u1(x)v2(x)h(x)]f(x) [v1(x)v2(x)]g(x)h(x) 1

，

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所以(f(x),g(x)h(x)) 1。

13．设f1(x),...,fm(x),g1(x),...,gn(x)都是多项式，而且

(fi(x),gj(x)) 1 (i 1,2,...m,j ;

。1,n2, .

求证：(f1(x)f2(x)...fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x)) 1。 证 由于

(f1(x),g1(x)) 1(f1(x),g2(x)) 1..........................

(f1(x),gn(x)) 1

反复应用第12题结论，可得

，

(f1(x),g1(x)g2(x)...gn(x)) 1，

同理可证

(f2(x),g1(x)g2(x)...gn(x)) 1................................................， (fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x)) 1

从而可得

(f1(x)f2(x)...fm(x), …… 此处隐藏：10046字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……