数学物理方程(谷超豪)第二版前两章答案

数学物理方程(谷超豪)第二版前两章答案

第一章．

波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程

u u

x E t t x x

其中 为杆的密度，E为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x x。现在计算这段杆

在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

x u(x,t);x x u(x x,t)

其相对伸长等于 令

x

[x x u(x x,t)] [x u(x,t)] x

x

ux(x x,t)

，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于

T(x,t) E(x)ux(x,t)

其中E(x)是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,x x)两端的力分别为

E(x)S(x)ux(x,t);E(x x)S(x x)ux(x x,t).

于是得运动方程 (x)s(x) x utt(x,t) ESu利用微分中值定理，消去 x，再令 x 0得

(x)s(x)u

x

x

(x x)|x x ESux(x)|x

(ESu

x

)

若s(x) 常量，则得

u t

22

(x)

即得所证。

=

x

(E(x)

u x

)

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x 0,x l两点则相应的边界条件为

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u(0,t) 0,u(l,t) 0.

(2)若x l为自由端，则杆在x l的张力T(l,t) E(x)

的边界条件为

u x

u x

|x l等于零，因此相应

|x l=0

u x

同理，若x 0为自由端，则相应的边界条件为

∣x 0 0

(3)若x l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的

偏移由函数v(t)给出，则在x l端支承的伸长为u(l,t) v(t)。由虎克定律有

E u x u x

∣x l k[u(l,t) v(t)]

其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件

(

u)∣x l f(t) 其中

kE

特别地，若支承固定于一定点上，则v(t) 0,得边界条件

( u x

u)∣x l 0。

同理，若x 0端固定在弹性支承上，则得边界条件 E即 (

u x

∣x 0 k[u(0,t) v(t)]

u x

u)∣x 0 f(t).

3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 E

x

[(1

xh

)

2

u x

] (1

xh

)

2

u t

2

2

其中h为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为：

l 1

xh

2

所以截面积s(x) (1

xh

)。利用第1题，得

(x) (1

xh

)

2

u t

2

2

x

[E (1

xh

)

2

u x

]

若E(x) E为常量，则得

x

xh

u x

xh

u t

22

E[(1 )

2

] (1 )

2

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡

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位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为 ，则x点处的张力T(x)为

T(x) g(l x)

且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为

g(l x)sin (x); g(l (x x))sin (x x)

其中 (x)表示T(x)方向与x轴的夹角

又 sin tg 于是得运动方程 x

u t

22

u x.

[l (x x)]

u x

∣x x g [l x]

u x

∣x g

利用微分中值定理，消去 x，再令 x 0得

u t

22

g

x

[(l x)

u x

]。

5. 验证 u(x,y,t)

1t x y

2

2

2

在锥t2 x2 y2>0中都满足波动方程

u t

2

2

u x

2

2

u y

2

2

证：函数u(x,y,t)

1t x y

2

2

2

在锥t x y>0内对变量

222

x,y,t有

二阶连续偏导数。且

2

u t

2

(t

2

x

2

2

y)2 t

5

3

u t

2

(t

2

x

22222

y)2 3(t x y)2 t

3

(t2 x2 y2)2 (2t2 x2 y2) u x

3

3

(t

2

x

2

2

y)2 x

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u x

2

2

t

2 x2

3 22y

3t

2 x2

5 22y

x

2

5 2222t2 2x2 y2 t x y

同理

u y

22

2

t

2

x

2

52 2y

t2 x2 2y2

5 22y

所以 即得所证。

u x

2

u y

2

2

t

2

x

2

2t

2

x

2

y

2

u t

2

2

.

6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)

与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.

解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段 x,x x 上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为 b

u t

,故 x,x x 上所受摩阻力为

u t

b p x s x x

运动方程为:

x s x x

u

u u u

ES x b x s x x x x ES

2 t x t t

2

利用微分中值定理，消去 x,再令 x 0得

x s x

若s(x) 常数，则得

u t

22

u t

2

2

u u

. ES b x s x

x x t

x

u u

E b x

x x t

2

若 x 是常量,E x E也是常量.令a

E

,则得方程

u t

2

2

b

u t

a

2

u x

2

2

.

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪

1. 证明方程

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2

x u 1 1 2 x h x a

x u

h 0常数 1 2