积分变换习题解答1-2

积分变换习题解答

1-2

1．求矩形脉冲函数f(t) 解：

j t j tA1 e e

F( ) F f(t) f(t)e j tdt Ae j tdt A

0j j 0

A,0 t

的Fourier变换.

0,其他

2.设F 是函数f t 的Fourier变换，证明F 与f t 有相同的奇偶性.

证明：F 与f t 是一个Fourier变换对，即 F

f t e j tdt，f t

1 j t

F ed 2π

如果F 为奇函数，即F F ，则

f t

1 1 j t j t

F ed F ed 2π 2π

1

（令 u） F u ejutdu

2π

（换积分变量u为 ） 所以f t 亦为奇函数.

1 j t

F ed f t 2π

如果f t 为奇函数，即f t f t ，则

F

f t e

j t

dt

f t e

j t

dt

（令 t u）

f u e j udu

（换积分变量u为t）

f t e j tdt F

积分变换习题解答

所以F 亦为奇函数.

同理可证f t 与F 同为偶函数.

4．求函数f t e t t 0 的Fourier正弦变换，并推证

sin π

d e 0 1 22

解：由Fourier正弦变换公式，有

t

Fs( ) Fs ft ftsin tdt e 0 0sin tdt

e t sin t cos t

1 21 20

由Fourier正弦逆变换公式，有

f t Fs 1 Fs( )

2 2 sin tF( )sin td d π 0sπ 01 2

由此，当t 0时，可得

sin ππ

d f e 0 2

1 22

5．设F f t F( )，试证明：

1）f t 为实值函数的充要条件是F( ) F()； 2）f t 为虚值函数的充要条件是F( ) F().

证明： 在一般情况下，记f t fr t jfi t 其中fr t 和fi t 均为t的实值函数，且分别为f t 的实部与虚部. 因此

F

f t e j tdt

fr t jfi t cos t jsin t dt

f t cos t fi t sin t dt j fr t sin t fi t cos t dt r

Re F jIm F

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其中Re F fr t cos t fi t sin t dt， a Im F

fr t sin t fi t cos t dt b

1）若f t 为t的实值函数，即f t fr t ,fi t 0.此时， a 式和 b 式分别为

Re F

fr t cos tdt fr t sin tdt

Im F

所以

F Re F jIm F

Re F jIm F F

反之，若已知F F ，则有

Re F jIm F Re F jIm F

此即表明F 的实部是关于 的偶函数；F 的虚部是关于 的奇函数.因此，必定有

F

fr t cos tdt j

fr t sin tdt

亦即表明f t fr t 为t的实值函数.从而结论1）获证.

2）若f t 为t的虚值函数，即f t jfi t ,fr t 0.此时， a 式和 b 式分别为

Re F Im F

fi t sin tdt fi t cos tdt

积分变换习题解答

所以

F Re F jIm F

Re F jIm F

Re F jIm F F

反之，若已知F F ，则有

Re F jIm F Re F jIm F

此即表明F 的实部是关于 的奇函数；F 的虚部是关于 的偶函数.因此，必定有

F

fi t sin tdt j

fi t cos tdt，

亦即表明f t jfi t 为t的虚值函数.从而结论2）获证.

6.已知某函数的Fourier变换F( ) 解：F( ) f t

sin

sin

，求该函数f t .

为连续的偶函数，由公式有

π 1 sin j t

F ed cos td 2 π0

1 sin 1 t 1 sin 1 t

d d 2π0 2π0

但由于当a 0时

0

sina

d

sina 0

d(a )

sint0

t

dt

π

2

当a 0时

0

sina

d

sin( a) 0

d

π 2

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1

t 1 2

sina 1

t 1 当a 0时， d 0,所以得 f t 0 4

0t 1

7．已知某函数的Fourier变换为F π δ 0 δ 0 ，求该函数f t .

解：由函数δ t t0 g t dt g t0 ，易知

1 f t F ej td 2π

1 1 j tj t πδ ed πδ ed 00 2π 2π

11 ej t ej t cos 0t

02 02

8．求符号函数（又称正负号函数）sgn t

变换.

1,t 0 1,t 0

的Fourier

解：容易看出sgn t u t u t ，而F[u(t)] F( )

1

a

1

πδ( ). j

9．求函数f t δ t a δ t a δ 的t δt 222

a

Fourier变换.

解 ：

1 a a j t

F F ft δt a δt a δt δt ed 2 2 2

1 j t e e j t e j t e j ta2 t at at t 2

a 2

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a

cosa cos .

2

10 .求函数f t costsint的Fourier变换. 解: 已知

F sin 0t jπ δ 0 δ 0

f t δ 2 δ 2 由f t costsint sin2t有F 22

1πj

11.求函数f t sin3t的Fourier变换.

j t

e解:已知F 2πδ 0 ,由

ejt e jt j3jt3

f t sint e 3ejt 3e-jt e 3jt

8 2j

3

即得

πj

F ft 4 δ 3 3δ 1 3δ 1 δ 3

π 12.求函数f t sin 5t 的Fourier变换.

3

解: 由于

π 1

f

t sin 5t sin5t t

3 22

πj

5 δ 5 . 故F f t δ 5 δ

5 2

j t F ，其中 e14.证明：若F

t 为一实数，则

1

cos t F F F

2

F sin t

1

F F 2j

其中F 为F 的共轭函数.

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证明：因为 F ej t e j tdt

F

e

j tj t

edt e

j t

j t

e j tdt

e

j t

e1 F F 2 e

2

j t

dt

cos t e j tdt F cos t

同理可证另一等式.

17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见 …… 此处隐藏：1159字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……