高三21空间中的垂直关系

空间中的垂直关系

（一）、知识梳理整合

1、直线与平面垂直,平面与平面垂直的定义 2、垂直的判定与性质

(二)基础自测

1．如果平面 外一条直线l与 内的两条直线垂直，那么l与 的位置关系是（ ） A．l⊥ B．l∥ C．l与 相交且不垂直 D．不能确定

2.若斜线和平面所成的角为 ，此斜线与此平面内任一直线所成的角为 ，则（ ） A. ≤ B. = C. ≥ D. 与 的大小关系不确定 3对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l (A)平行 （B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线

4（2010全国卷2）与正方体ABCD A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 6三棱锥的四个面中，可以

①只有一个直角三角形 ②只有两个直角三角形 ③只有三个直角三角形 ④都是直角三角形 上述的四个命题中，正确命题的序号是

(三)典型例题

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

1

例2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。

C1 B1

题型2：线面垂直问题

例3．如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。

例4.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC。 （I）证明FO∥平面CDE;；（II）

设BC ,证明EO 平面CDF.。

2

1

1

D

E C

B 12

F

E

A

B

C

M

D

题型3：面面垂直问题

例5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

例6．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA AD 4，AB 2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离.

3

B

D

题型4：垂直的应用

例7．已知A是边长为a的正三角形BCD所在平面外一点，AB AC AD a，求异面直线AB与CD的距离。

例8．如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC BD a且它们所成的角为30 。⑴求证：EG HF，⑵求四边形EFGH的面积。

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