高中数学解析几何解题方法~

解析几何常规题型及技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

y2

典型例题 给定双曲线x 1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P

2

2

2

y12y22

的轨迹方程。 分析：设P 1，x2 1。 1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x

22

2

1

两式相减得 (x1 x2)(x1 x2)

1

(y1 y2)(y1 y2) 0。 2

又设中点P（x,y），将x1 x2 2x，y1 y2 2y代入，当x1 x2时得 2x

y y2y y22yy 122

， 代入得2x y 4x y 0。 ·1 0。 又k 1

2x1 x2x1 x2x 2

2

2

当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2x y 4x y 0 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆2 2 1上任一点，F1( c,0)，F2(c,0)为焦点， PF1F2 ， PF2F1 。

ab

（1）求证离心率e

sin( )33

； （2）求|PF1| PF2|的最值。

sin sin

r1r2c

。 2

sin sin sin( )

分析：（1）设|PF1| r1，|PF2 r2，由正弦定理得

得

r1 r22ccsin ( )33322

， e （2）(a ex) (a ex) 2a 6aex。

sin sin sin ( )asin sin

3

3

2

3

当x 0时，最小值是2a； 当x a时，最大值是2a 6ea。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程y2 p(x 1)(p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为1：x 1

p 4

p

，而4t p 4 0 4

由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 t 1

x y t

消去y得x2 (2t p)x (t2 p) 0 (2t p)2 4(t2 p) p(4t p 4) 0 由 2

y p(x 1)

故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) x1 x2 2t p，x1x2 t2 p OA OB， kOA kOB 1 则x1x2 y1y2 0 又y1y2 (t x1)(t x2) t2

x1x2 y1y2 t (t 2)p 0 p f(t)

t 2

2

又p 0，4t p 4 0得函数f(t)的定义域是 ( 2，0) (0， )

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A

4(a p) 4a2 0

（x1,y1）,B(x2,y2)，则 x1 x2 2(a p),又y1=x1-a,y2=x2-a,

2 x1x2 a

|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 2[(x1 x2)2 4x1x2] p(p 2a) 0 |AB| 2p,8p(p 2a) 0, 0 p(p 2a) 2p,

x1 x2

2

y1 y2(x1 a) (x2 a)

p. 22

解得: p a p.

24

(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

x3 a p, y3

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以S

△

NAB=

122

|AB| |QN| p |AB| p 2p 2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

k2 12k16k8(k2 1)A（2），B（2）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：, 2,2

k 1k 1k 1k 1

/

k=

1 21 45

,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x. 2525

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （ >0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|= |MQ|}，2222

由平面几何知识可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，可得：

( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.

当 =1时它表示一条直线；当 ≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

x2y2

1，试确定m的取值范围，使得对于直线y 4x m，椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程43

点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，相减得3(x1 x2)(x1 x2)

4(y1 y2)(y1 y2) 0。

又x

y y2x1 x2y y21

，代入得y 3x。 ，y 1，k 1

x1 x2422

y 3x

又由 解得交点( m, 3m)。

y 4x m

( m)2( 3m)222 m 1，得 交点在椭圆内，则有。 131343

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1·k2

y1·y2

1来处理或用向量的坐标运算来处理。

x1·x2

2

典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P( 2,0)，抛物线C:y 4(x 1)，直线l与抛物线C

有两个不同的交

点（如图）。

（1）求k的取值范围；

（2）直线l的倾斜角 为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

分析：（1）直线y k(x 2)代入抛物线方程得kx (4k 4)x 4k 4 0，

2

2

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