线性代数行列式经典例题

经济学线性代数中的行列式的求解

线性代数行列式经典例题

例1计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式.

解 方法1 由题设知，a11=0，a12 1， ,a1n n 1, ，故

0110Dn

n 1n 2

n 1

cj cnj 1, ,n 1

n 1 n 2 0

ri ri 1i n,n 1, ,2

01

1 1 11 n 1 1

1

nn 1

1

( 1)n 12n 2(n 1) 1

0 0

2 0

0 2 0

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．

0110

方法2 Dn

n 1n 2

cj c1

n 1 n 2 0 11

ri ri 1

1 1 i 1,2, ,n 1

n 1n 2 1 1

0

j 2, ,n

10 1 2

n 12n 3 0 0

=( 1)n 12n 2(n 1)

n 1

例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明:

的充要条件是a + b + c =0.

证明: 考察范德蒙行列式:

经济学线性代数中的行列式的求解

=

行列式

即为y2前的系数. 于是

=

所以

的充要条件是a + b + c = 0.

x 1x

0 1

00

例3计算Dn=

0 an

an 1an 2 x a1

解： 方法1 递推法 按第1列展开，有

1x

Dn= x Dn 1+（－1）

n 1

1x

1

x

1n 1

= x Dn 1+ an

an

由于D1= x + a1，D2 an 1x + an= = x

n 1

xa2 12

，于是Dn= x Dn 1+ an=x（x Dn 2+an 1）+ an=xDn 2+ x a1

n 2

D1+ a2x

+ + an 1x + an=xn a1xn 1 an 1x an

2

n 1

方法2 第2列的x倍，第3列的x倍， ，第n列的x

倍分别加到第1列上

Dn

c1 xc2

1x0

0 1x

000

x20

an xan 1an 1an 2 x a1

经济学线性代数中的行列式的求解

100 0c0x 10 01 x2c3

x30x 1

an xan 1 x2an 2

an 1an 2an 3 x a1

1 1x 1

按rn展开

x

1= =

1

( 1)n 1f

x

f

x

x

xn an 11x an 1x an

方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

x00 0c 12xc1

0x0 0c 13Dxc2

00x

0n

c1

n x

cn 1

aann

an 1

x

a an 1 an

n 2xx2

kn

按cn展开

x

n 1

kn 1

ann= x

(

x

n 1

+ an 1xn 2+ +a2

x+a1+x) =a 1n an 1x a1xn xn

10 00

按rn展开

方法4 Dn ( 1)n 1ax 1 00

n +

00 x 1x0 00x 1 00( 1)n 2a0 1 00

+ +( 1)2n 1a0x 00

n 1

2

00 x 100 0 1

x 1 00+( 1)2n

(a x)0x 001

00 0x

=（－1）

n 1

（－1）

n 1

an+（－1）

n 2

（－1）

n 2

an 1x

=

1n 1

经济学线性代数中的行列式的求解

+ +（－1）

2n 1

（－1）a2x

n 2

+（－1）

2n

( a1+x) x

n 1

= an an 1x a1xn 1 xn

例4． 计算n阶行列式：

a1 b1

Dn

a1 a1

a2 a2

anan

an bn

(b1b2 bn 0)

a2 b2

解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2, ,an，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．

1

Dn 0

升阶

a1a1 a1

a2a2 a2

ananan

r2 r1r3 r1 rn 1 r1

1

a1a2 an

0 0

00

0 0

b2

0a1 b1 0

1b1 1 1

a2 b2

an bna1a2 anb10 0

0 0anan an x

=x

n 1

bn

c1

1cjbj 1

a1a 1b1b1

00 0

j 2, ,n 1

00

b2

=b1b2 bn(1

a1a

n) b1bn

bn

这个题的特殊情形是

a1 xDn

a1 a1

可作为公式记下来．

a2 a2

a2 x

(x ai)

i 1

n

例5．计算n阶“三对角”行列式

1

Dn=

1 0

0 0

＋ 0

0

0 0000

1

经济学线性代数中的行列式的求解

解 方法1 递推法．

Dn

按c1展开

0 0

0 0

0

00

(n 1)

( )Dn 1—

1 0

0

1

按r1展开

( )Dn 1－ Dn 2

即有递推关系式 Dn=( )Dn 1－ Dn 2 (n 3) 故 Dn Dn 1＝ (Dn 1 Dn 2)

递推得到 Dn Dn 1＝ (Dn 1 Dn 2)＝ 2(Dn 2 Dn 3)

＝ ＝ n 2(D2 D1)

而D1 ( )，D2＝

α+βαβ

＝ 2 2，代入得Dn Dn 1 n

1α+β

Dn Dn 1 n （2.1）

由递推公式得

Dn Dn 1 n＝ ( Dn 2 n 1) n

＝α

2

D

n 2

＋

n 1

n＝

βn 1－αn 1

，当α β时 nn 1n 1n

＝ ＋ ＋ ＋ ＝ β－α

(n 1)αn 1，当α＝β时

方法2 把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

1

0

1 0

Dn=0

＋ 0

0

0 0000

＋

1

0 00

1 00

0 000

000

00

1

1

上式右端第一个行列式等于αDn 1，而第二个行列式

经济学线性代数中的行列式的求解

1

0 00

1 00

0 000

000

ci aci 1i 2, ,n

00

10 0

1 0

0 00 0

00

00=βn

0 1

1

于是得递推公式Dn Dn 1 n，已与（2.1）式相同．

方法3 在方法1中得递推公式

Dn=( )Dn 1－ Dn 2

2 2

又因为当 时 D1= =

D2

133

222 =( ) = =

D3=

10

1

2

2

=( )3-2 ( ) …… 此处隐藏：1644字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……