同济六版高等数学二章课件03

高等数学二章课件

§2.3 高阶导数高阶导数的定义 几个初等函数的 n 阶导数 函数和差、积的 n 阶导数

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高阶导数的定义 我们把函数y=f(x)的导数y′=f ′(x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 d2 y y′′、f ′′(x)或 2 , dx d2 y d dy y′′=(y′)′, f ′′(x)=[f ′(x)]′ 或 2 = ( ) . 即 dx dx dx 类似地, 二阶导数的导数叫做三阶导数, 三阶导数的 导数叫做四阶导数; 一般地, (n 1)阶导数的导数叫做n阶 导数, 分别记作 y′′′, y (4), , y (n)

d3y d4 y dn y 或 3, , , . 4 n dx dx dx返回 下页 结束 铃

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d2 y d dy y′′=(y′)′, f ′′(x)=[f ′(x)]′ , = ( ). 2 dx dx dx例1 y=ax+b, 求y′′. 解 y′=a, y′′=0. 例2 s=sinωt, 求s′′. 解 s′=ωcosωt, s′′= ω 2sinωt.

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d2 y d dy = ( ). y′′=(y′)′, f ′′(x)=[f ′(x)]′ , 2 dx dx dx例3 证明: 函数 y = 2x x2 满足关系式 y3 y′′+1=0 . 证明 因为 y′ = 2 2x = 1 x , 2 2x x2 2x x2 2x x2 (1 x) 2 2x 2 2x x2 y′′= 2x x2 2x+ x2 (1 x)2 1 1 , = = = 3 3 2) (2x x2) y (2x x 2) 2 (2x x 所以y 3y′′+1=0.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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几个初等函数的 n 阶导数 例4 求函数y=e x 的n阶导数. 解 y′=ex, y′′=ex, y′′′=ex, y(4)=ex, 一般地, 可得y(n)=ex, 即(ex)(n)=ex. 例5 求函数ln(1+x)的n阶导数. 解 y=ln(1+x), y′=(1+x) 1, y′′= (1+x) 2, y′′′=( 1)( 2)(1+x) 3, y(4)=( 1)( 2)( 3)(1+x) 4, 一般地, 可得

即

)! y(n)=( 1)( 2) ( n+1)(1+x) n =( 1 n 1 (n 1 , ) (1+ x)n 1 (n) =( 1 n 1 (n )! . [ln(1+ x)] ) (1+ x)n首页 上页 返回 下页 结束 铃

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例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数. 解 y=sin x,

y′ =cosx =sin(x+ π ) , 2 y′′ =cos(x+ π ) =sin(x+ π + π ) =sin(x+2 π ) , 2 2 2 2 ′′′=cos(x+2 π )=sin(x+2 π + π )=sin(x+3 π ) , y 2 2 2 2 一般地, 可得

π 用类似方法, 可得(cosx)(n) =cos(x+n ) . 2首页 上页 返回 下页

y(n) =sin(x+n π ) , 即(sin x)(n) =sin(x+n π ) . 2 2

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例7 求幂函数y=xµ(µ是任意常数)的n阶导数公式. 解 y′=µxµ 1, y′′=µ(µ 1)xµ 2, y′′′=µ(µ 1)(µ 2)xµ 3, y(4)=µ(µ 1)(µ 2)(µ 3)xµ 4, 一般地, 可得 y(n)=µ(µ 1)(µ 2) (µ n+1)xµ n , 即 (x µ )(n) =µ(µ 1)(µ 2) (µ n+1)xµ n . 当µ=n时, 得到 (xn)(n) =µ(µ 1)(µ 2) 3 2 1=n! . 而 (xn)(n+1)=0.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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函数和差、积的 n 阶导数 函数和差的 n 阶导数 (u±v)(n)=u(n)+v(n) . 函数积的 n 阶导数 (uv)′=u′v+uv′, (uv)′′=u′′v+2u′v′+uv′′, (uv)′′′=u′′′v+3u′′v′+3u′v′′+uv′′′ , 用数学归纳法可以证明k (uv

)(n) = ∑Cn u(n k)v(k) , k =0 n

这一公式称为莱布尼茨公式.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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莱布尼茨公式.k (uv)(n) = ∑Cnu(n k)v(k) , k =0 n

n(n 1) 2! n(n 1)L(n k +1) +L+ k!

牛顿二项式

n(n 1) 2! n(n 1)L(n k +1) +L+ k!首页 上页 返回 下页 结束 铃

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莱布尼茨公式:

k (uv)(n) = ∑Cn u(n k)v(k) , k =0

n

例8 y=x 2e2x , 求y(20) . 解 设u=e2x, v=x2, 则 (u)(k)=2ke2x (k=1, 2, ,20) , v′=2x, v′′=2, (v)(k)=0 (k=3, 4, , 20) , 代入莱布尼茨公式, 得1 2 y(20)=(u v)(20) =u(20) v+C20u(19) v′+C20u(18) v′′

=220e2x x2 +20 219e2x 2x +190 218e2x 2 =220e2x(x2+20x+95) .首页 上页 返回 下页 结束 铃

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内容小结高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 n! 1 (n) n ) = ( 1) 如, ( a+ x (a + x)n+1 n! 1 (n) ( ) = n+1 a x (a x) (4) 利用莱布尼兹公式首页 上页 返回 下页 结束 铃

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思考与练习1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 1 x (1) y = 解: 1+ x

yx3 (2) y = 1 x解:

(n)

n! = 2( 1) (1+ x)n+1n

y

(n)

n! = , n ≥3 n+1 (1 x)下页 结束 铃

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1 y= 2 x 3x + 2 1 A B = + 提示: 提示 令 (x 2)(x 1) x 2 x 1(3)

A = (x 2) 原式 B = (x 1) 原式1 1 ∴ y= x 2 x 1y(n) n

x=2x =1

=1 = 1

1 1 = ( 1) n! n+1 n+1 (x 1) (x 2)上页 返回 下页 结束 铃

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(4) y = sin6 x + cos 6 x解:

= sin4 x sin2 x cos 2 x + cos 4 x3 2 =1 sin 2x 1 41 cos 2α sin α = 22

y

(n)

3 n = 4 cos(4x + nπ ) 2 8 2 2 3 3 a + b = (a+ b) (a ab + b )首页 上页 返回 下页 结束 铃

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2. (填空题 (1) 设 f (x) = (x 3x + 2) cos 填空题) 填空题2 n

π x216

,则

f (n) (2) = n! 22提示: 提示

16 π x2 n +L L L = n! (x 1) cos 16 (2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f ′(x) = [ f (x)]2 , 则当

(x 2) (x 1) cosnn

πx

2

各项均含因 子(x–2)

n≥2时 f提示: 提示

(n)

n ! [ f (x)]n+1 (x) =

f ′′(x) = 2 f (x) f ′(x) = 2![ f (x)]3 ′′′(x) =2! 3[ f (x)]2 f ′(x) = 3! [ f (x)]4 f首页

L L

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3. 试从

导出

d2 x d dx d 1 dx 解： = = d y2 d y dy d x y′ dy1 y′

d x 同样可求 3 dy(见 P103题4 )

3

作业P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ;

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