4.2.1直线与圆的位置关系

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问题提出1、点到直线的距离公式,圆的标准方 程和一般方程分别是什么？

d

| Ax0 By0 C | A B2 2

( x a ) ( y b) r2 22 2

22 2

x y Dx Ey F 0( D E 4 F 0)

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知识探究(一):直线与圆的位置关系的判定 思考1:在平面几何中,直线与圆的位置关 系有几种？ 相交、相切、相离 思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线 与圆的位置关系？

dr

d r r

d

d <r

d =r

d >r

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思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线 与圆的位置关系？

两个公共点

一个公共点

没有公共点

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思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表 示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断 它们之间的位置关系？直线l:Ax+By+C=0 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

方法一:根据直线与圆的联立方程组的 公共解个数判断；

方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系判断.

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思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？ 代数法 1.将直线方程与圆方程联立成方程组； 2.通过消元，得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； 4.比较△与0的大小关系： 若△>0,则直线与圆相交；若△=0,则直线 与圆相切；若△<0,则直线与圆相离. 利用直线与圆的公共点的个数进行判断： Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a) ( y b) r 直线与圆相离 n=0 △<0

△ =0 △ >0

n=1 n=2

直线与圆相切 直线与圆相交

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几何法：1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐标和半径r; 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d;

d

aA bB C A B2 2

3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：

d>rd=r

直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

d<r

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应用举例3x y 6 0 和圆心为C的 例1 如图，已知直线l: 2 2 x y 2 y 4 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解； 方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系.

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应用举例3x y 6 0 和圆心为C的 例1 如图，已知直线l: 2 2 圆 x y 2 y 4 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 解法一：由直线 l 与圆的方程，得：

3x y 6 0, 2 2 x y 2 y 4 0.消去y,得：

x 2 3x 2 0因为： ( 3) 2 4 1 2 =1>0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点.

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应用举例3x y 6 0 和圆心为C 例1 如图，已知直线l: 的圆 x 2 y 2 2 y 4 0 ,判断直线 l 与圆的位置关

系；如果相交，求它们交点的坐标. 2 2 解法二：圆 x 2 y 2 2 y 4 0 可化为 x ( y 1) 5.其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离

5,点C (0,1)到

d

| 3 0 1 6 | 32 12

5 5 10

所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点.

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应用举例3x y 6 0 和圆心为C的 例1 如图，已知直线l: 2 2 x y 2 y 4 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆果相交，求它们交点的坐标. 思考：怎么求弦长|AB| 解： 由 x 2

3x 2 0 ,解得：

x1 2, x2 1把

y1 0 x1 2,代入方程①,得 x2 1

;

x1 把 2, x2 1代入方程① ,得 y2 3.所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：

A(2,0),B(1,3)

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知识探究(二):圆的切线方程 思考1:过圆上一点、圆外一点作圆的切 线，分别可作多少条？

MM

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思考2:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2上一点，如何 求过点M的圆的切线方程？ y

Mox

x0x+y0y=r2

思考：若将圆的方程改为：(x a)2 ( y b)2 r 2 点M(x0 ,y0 )依然在圆上，则切线方程如何？

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思考3:设点M(x0,y0)为圆 x2+y2=r2外一点，如 何求过点M的圆的切线方程？ My思路分析：可用待定系数法，设所求 直线斜率存在为k,点斜式建立直线的 方程，利用圆心到直线的距离等于半 径建立k的方程求解k。

o

x

注：由于所求直线有两条，所以通常k有两个解，若只有 一个解，则说明必有一条直线斜率不存在。

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例 2. 已知⊙ C : (x-1)2+(y-2) 2=2 , P(2,-1) ,过 P 作 ⊙C的切线，切点为A、B。 y 求切线PA、PB的方程；2 1 -1 O -1C

Ax

B 1 2

解： 由题知切线斜率存在则设方程为：y 1 k ( x 2) k 3 1 k2

P

即 kx y 2k 1 0. 由已知圆C的圆心为(1,2),半径为 2则 2 k 2 6k 7 0 解得 k 7 或 k 1.

故所求切线方程为： y 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2)

即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .

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变式练习：已知圆C:x y 252 2

()求过点( 1 4,)的圆的切线方程； -3 (2)求过点(-5,2)的圆的切线方程。

(1)4x-3y-25=0

(2)21x-20y+145=0或x=-5