北科大岩石力学课件-李长洪5.2岩石地下工程(tansuxingcishengyin

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5.5

深埋圆形洞室弹塑性围岩二次应力状态 深埋圆形洞室弹塑性围岩二次应力状态 圆形洞室弹塑性围岩 只介绍

λ = 1(其它情况太复杂、不介绍)

假设岩体服从库仑-莫尔准则，是理想塑

性体(极限平衡理论)。

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σ re + σ θe = 2 p0

σ rp + σ θp = 2 p0

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(4)求解塑性区应力 )

得：

sin 1 dσ r 2(c cot + σ r ) = dr 1 sin rdσ r 2 sin dr = c cot + σ r 1 sin r6

分离变量，解微分方程： 分离变量，解微分方程：

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dσ r 2 sin dr ∫ = ∫ c cot + σ r 1 sin r2 sin ln(c cot + σ r ) = ln r + c0 (积分常数) 1 1 sin

2 sin c0 = ln(c cot + pi ) ln R0 1 sin 7

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r 得：σ r = ( pi + c cot ) ( ) R0

2 sin 1sin

c cot

sin 并代入塑性条件：σ θ σ r = 2(c cot + σ r ) 1 sin 1 + sin r 整理，得：σ θ=(pi + c cot ) ( ) 1 sin R02 sin 1sin

c cot

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公式) (5)求解塑性区半径和支反力(修正的 )求解塑性区半径和支反力(修正的Fenner公式) 公式r 把σ r = ( pi + c cot ) ( ) 1sin c cot R0 1 + sin r 1sin 与σ θ=(pi + c cot ) ( ) c cot 1 sin R0 代入弹塑性交界条件：r = R1,2 sin 2 sin 2 sin

σ θ +σ r = 2 p 0

2 pi + c cot ) R1 1sin ( ( ) 2c cot = 2 p0 1 sin R0 p0 + c cot )(1 sin )] pi + c cot 2 sin 1 sin 2 sin

化简得塑性区半径：R1 = R0 [(

R0 1sin 支护反力：pi = ( p0 + c cot )1-sin )( ) ( R1

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(6)求解弹性区应力 )

r 1sin 把r = R1和σ r = ( pi + c cot ) ( ) c cot R0 代入弹性应力公式σ r = p0 2 sin

2 sin

B r2

R1 1sin B 得：(pi + c cot )( ) c cot = p0 2 R0 R1 R1 1sin 2 2 2 化简得：B = p0 R1 + R1 c cot R1 ( p1 + c cot )( ) R0 把B和R1代入弹性应力公式σ r = p0 B 并化简， 2 r1sin sin 2 sin

( p0 + c cot )(1 sin ) 得：σ r = p0 (c cos + p0 )[ ] pi + c cot 同理σ θ = 取上式“+”即可

R0 2 ( ) r10

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圆形洞室弹塑性围岩二次应力分布状态 (7)深埋圆形洞室弹塑性围岩二次应力分布状态 )深埋圆形洞室弹塑性围岩

塑性区围岩应力分布状态 1、2-塑性区；3、4-弹性区； 1-松动区； 2塑性强化区；3-弹性承载区；4-原岩应力区

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弹塑性区围岩应力分布状态： 1-松动区： 岩体被切割、强度明显降低、应力低于 原岩应力； 2-塑性强化区：岩体呈塑性状态、处于塑性强化阶段， 应力高于原岩应力； 3-弹性承载区：岩体处于弹性性变形阶段，应力高于 原岩应力；

4-原岩应力区：未受开挖影响、处于原岩状态。12

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圆形洞室弹塑性围岩位移 (8)深埋圆形洞室弹塑性围岩位移 )深埋圆形洞室弹塑性围岩

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圆形洞室弹塑性围岩位移 (8)深埋圆形洞室弹塑性围岩位移 )深埋圆形洞室弹塑性围岩根据弹性厚壁圆筒理

论 1+ 弹性位移u1 = R1 ( p0 σ rR1 ) E 弹塑性边界上：σ r + σ = 2 p0 且满足库仑准则：σ θR1 =

(1) () 2 (3) () 4

1 sin cos σ rR1 + 2c 1 + sin 1 sin

由(2)和( )可得：σ rR1 = (1 sin ) p0 c cos 3 把( )代入()得：u1 = 4 1 R1 ( p0 + c cot ) sin 2G 如图，根据塑性区体积不变， 有π [ R12 ( R1 u1 ) 2 ] = π [ R02 ( R0 u0 ) 2 ] u0 和u1较小，略去平方项，得：u0 = ( R1 / R0 )u1 sin 所以，u0 = ( p0 + c cot ) R12 2GR0

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结束语