深大高数下自测题答案

深圳大学

高等数学A2补充题答案及

自测题答案

§7—1

1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(1, 2,3)C(2, 3, 4)

第IV卦限第VIII卦限

B(2,3, 4)第V卦限

D( 2, 3,1)第III卦限．

2．证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形．证明：如图所示∵AM=MC

C

BM=MD

A

∴AD=AM+MD=MC+BM=BC

AD与BC平行且相等，结论得证．

3．已知两点M1和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角

以及平行于向量M1M2的单位向量．解：M1M2= i 2j+k

=(4 3)2+(2 0)2+(1 2)2=2

方向余弦：cosα=

211

，cosβ= ，cosγ=．

222

方向角：α=

2π3ππ

，β=，γ=．

433

211

j±k．i

222

平行于向量M1M2的单位向量是

4．设m=3i+5j+8k,n=2i 4j-7k,p=5i+j 4k,求a=4m+3n p在x轴上的投影及在y轴上的分向量．解：因为a=4m+3n p

=4(3i+5j+8k)+3(2i 4j 7k) (5i+j 4k)=13i+7j+15k

所以在x轴上的投影为ax=13．在y轴上的分向量为7j．

§7—2

1．已知M1(1, 1,2)，M2(3,3,1)和M3(3,1,3)，求同时与M1M2，M2M3垂直的单位向量．

解：M1M2=2i+4j k，M2M3= 2j+2k， b=(a,b,c)b设所求向量为，因为⊥M1M2，所以

因为b⊥M2M3，所以

2b+2c=0，

2a+4b c=0

222

因为|b|=1，所以a+b+c=1

求得a=±

3，b=

23

，c=

2,

2)

=(±故所求单位向量为eb

,

2

ijk

方法二：所求向量b=±M1M2×M2M2=±24 1=±(6, 4, 4)

0 22

±(6, 4, 4)322 b ==, , )故eb=(±

|b|36+16+162．设a={3,5,-2}，b={2,1,4}，问λ与µ有怎样的关系能使λa+µb与z轴垂直．解：λi+µb=λ(3i+5j 2k)+µ(2i+j+4k)

=(3λ+2µ)i+(5λ+µ)j+( 2λ+4µ)k

因为与z轴垂直，所以 2λ+4µ=0 λ=2µ．

3．设m=2a+b，n=ka+b，其中a=1，b=2，且a⊥b．(1)k为何值时，m⊥n；

(2)k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6？

a={a,a,a}b={bx,by,bz}，()，解：方法一设xyz

22222+a2+a=1b+b+b由题意已知ax，yzxyz=4，axbx+ayby+azbz=0

m={2ax+bx,2ay+by,2az+bz}，n={kax+bx,kay+by,kaz+bz}

(1)已知m⊥n，

所以(2ax+bx)(kax+bx)+(2ay+by)(kay+by)+(2az+bz)(kaz+bz)=0

求得k= 2．

(2)根据题意，6=|m×n|，得k= 1，或k=5．

2 2

(2a+b) (ka+b)=0 2k|a|+|b|=0(方法二)(1)∵ m⊥n，∴ m n=0

2k+4=0 k= 2.

(2)∵ S=6，∴ |m×n|=6 |(2a+b)×(ka+b)|=6

|2(a×b) k(a×b)|=6 |2 k| |a×b|=6 |2 k| |a| |b|=6 |2 k|=3 k= 1或k=5.§7—3

1．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程．解：设动点坐标为(x,y,z)，根据题意，有

(x 2)2+(y 3)2+(z 1)2=x 4)2+(y 5)2+(z 6)2等式两边平方，然后化简得4x+4y+10z 63=0．2．求以点O(1,3, 2)为球心，且通过坐标原点的球面方程．

解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，根据已知条件，得(x 1)2+(y 3)2+(z+2)2=(0 1)2+(0 3)2+(0+2)2整理得

x2+y2+z2 2x 6y+4z=0．

3．画出下列方程所表示的曲面：(1)4x2+y2+z2=4；解：椭球抛物面

(2)x2+y2 4z2=0；解：圆锥面

(3)zx2y2

3=4+9

．

解：旋转抛物面

§7—4

1．画出下列曲线在第一卦限内的图形： x=1(1) ；

y=2解：

z=

(2) ；

x y=0 解：

x2+y2=a2

(3) 2．

22

x+z=a解：

x2y2

=1 +

2．方程组 49在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？

y=3

x2y2

解：在平面解析几何中，表示椭圆+=1与直线y=3(其实是过点(0,3)的一条切线)

49x2y2

的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面+=1与其切平面y=3的交线(直线).

49

3

．求由上半球面z=x2+y2 ax=0及平面z=0所围成的立体，在xOy面和xOz面上的投影．

解：想象该立体的形状，知向xoy面上的投影柱面的方程为x2+y2=ax，即为圆柱

面(x

aa2

)+y2=(2，故该立体在xoy面上的投影为圆面：

22

a2a2 2

y≤(x )+()

2．2

z=0

222 x+z=a

消去y：z=a2 x2 y2，在xoz面上的投影是

y=02

x ax=0

柱面x+y ax=0在xoz面上的投影是

y=0

2

2

x2+z2≤a2, z≥0,x≥0

故在xoz面上的投影是 .

y=0

1．求通过点(3,0, 1)且与平面3x 7y+5z 12=0平行的平面方程．解：设所求平面方程为3x 7y+5z+D=0，因为过点(3,0, 1)，所以

3*3 7*0+5*( 1)+D=0，得D= 4，

故所求平面方程为3x 7y+5z 4=0

2．求过点M0(2,9, 6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程．解：由条件OM0={2,9, 6}与平面垂直，

所以n={2,9, 6}，所求平面方程为2(x 2)+9(y 9) 6(z+6)=0，即2x+9y 6z 121=0．

3．求平面2x 2y+z+5=0与各坐标面的夹角余弦．解：与xoy平面的夹角余弦为cosθ1=

|2*0+( 2)*0+1*1|

|2*0+( 2)*1+1*0|

|2*1+( 2)*0+1*0|

=

132323

与xoz平面的夹角余弦为cosθ2=

=

与yoz平面的夹角余弦为cosθ3=

=

1．求过点(4, 1,3)且平行于直线解：设所求直线为l，

直线

x 3z 1

=y=的直线方程．25

z 1x 3

=y=的方向向量为(2,1,5)，则直线l的方向向量为(2t,t,5t)，

52

z 3x 4

=y+1=．

52

故所求直线方程为

2．求过两点M1(3, 2,1)和M2( 1,0,2)的直线方程．

解：所有直线L过点M1，M2两点，则M1M2//L，故可取s=M1M2，即

s=M1M2={ 1 3,0+2,2 1}={ 4,2,1}

y+2z 1x 3x 3y+2z 1====所以所求直线方程为：，即．

2 1 30+22 1 413．求点( 1,2,0)在平面x+2y z+1=0上的投影．

x= 1+t

解：过点( 1,2,0)且垂直于平面的直线方程为 y=2+2t，代入平面方程中，

z=0 t225

得t= ，代入直线的参数方程，得x= ，y=，( 1+t)+2(2+2t) ( t)+1=0，

333

z=

5222

，即投影点为( ,,)．3333

第八章

§8-1

多元函数微分法及其应用

x2+y2

1.求函数f(x,y,z)=arcsin的定义域.

z

解：要使函数有意义，须z≠0，且

x2+y2

≤1.z

即,x2+y2≤z,z≠0或z≤ x2－y2,z≠0.

2．求极限：lim

1 cos(x+y)

.2x→0(x+y)y→0

2sin2

x+y

1 cos(x+y)1=1.解：(方法一)lim=lim22x→0x→0(x+y)42x+y y→0y→0

2

12tx+y=t

1 cost1=(方法二)原式=lim.=lim22t→0t→02tt

§8-2

1．设u=xy+z,求一阶偏导数.解：…… 此处隐藏：4883字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……