第3章 数据分布特征的描述(珠江学院)

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统计学导论周国富 主讲

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第三章 数据分布特征的描述第一节 统计变量集中趋势的测定第二节 统计变量离散程度的测定

第三节 变量分布的偏度与峰度(选学)

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第一节 统计变量集中趋势的测定(袁卫等《统计学》P24”2.2分布集中趋势的测 度”)

一、测定集中趋势的指标及其作用 二、数值平均数 三、众数与中位数 四、切尾均值

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一、测定集中趋势的指标及其作用 集中趋势(Central tendency):是指较大和 较小的观测值出现的频率比较低，大多数观 测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈 现出向中心聚集或靠拢的态势。

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测度集中趋势的指标 测度集中趋势的指标有两大类：– 数值平均数——是根据全部数据计算得到 的代表值，主要有算术平均数(均值)、 调和平均数及几何平均数；– 位置代表值——是根据数据所处位置直接 观察、或根据与特定位置有关的部分数据 来确定的代表值，主要有众数和中位数、 以及四分位数、十分位数、百分位数等。

– 此外，还有切尾均值等。

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测定集中趋势指标的作用 1.反映变量分布的集中趋势和一般水平。–如,用平均工资了解职工工资分布的中心， 反映职工工资的一般水平。

2.可用来比较同一现象在不同空间或不 同阶段的发展水平。–消除了总体规模大小的影响，具有可比性; –在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。

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测定集中趋势指标的作用 3.可用来分析现象之间的依存关系。–如,研究劳动者的文化程度与收入的关系。

4.平均指标也是统计推断中的一个重要 统计量，是进行统计推断的基础。

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二、数值平均数(一)算术平均数(均值，袁卫等《统计学》P26-28)–算术平均数：一组数据的总和除以这组数据的项 数所得的结果。 –算术平均数是最常用的数值平均数。x1 x2 ... xn n xi nn

x

i 1

x n

根据所掌握的资料不同,算术平均数又分为 两种:简单算术平均数和加权算术平均数。

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1.简单算术平均数 简单算术平均数：把每项数据直接加总后除以 它们的项数。 通常用于对未分组的数据计算算术平均数。 计算公式：(袁卫等《统计学》P26)x x1 x2 ... xn n i 1

xi n

n

x n

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例3-1 假设某工作队有20个队员，男女各10人，他们的年龄如 表3-1所示。求平均年龄。表 3-1 男性 女性

解：采用简单算术平均法计算，全 体队员的平均年龄为(周岁):22 22 25 25 25 25 25 30 30 50 22 ... 30 20 538 20 26.9

2222 25

2222 25

2525 25 25 30 30 50

2525 25 25 30 30 30年龄 x 22 25 30 50 合计

表 3-2 人数(人) f 4 1

0 5 1 20

对于分组数据不能 简单平均！因为各 组变量值的次数不 等！若采用简单平均：22 25 30 50 4 31.75

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2.加权算术平均数 正确的算式应该是：x 22 4 25 10 30 5 50 1 4 10 5 1 538 20 26.9

加权算术平均数的一般公式：(袁卫等《统计学》P27)x x1 f1 x2 f 2 ... xn f n f1 f 2 ... f n i 1

xi f i fin

n

xf f

i 1

加权：是指为了体现各变量值轻重不同的影响作用， 对各个变量值赋予不尽相同的权数(fi)。

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权数(fi ,也称权重) 权数——指在计算总体平均数或综合水平的过程中 对各个数据起着权衡轻重作用的变量。 权数可以是绝对数形式，也可以是比重形式(如频 率)。x xf f x f ff f

x

f f

事实上，比重形式的权数更能够直接表明权数权衡轻 重的实质，因为影响作用的大小本来就是相对而言的。 当权数完全相等(f1 =f2 =…= fn)时，加权算术平均 数就成了简单算术平均数。

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3.由组距数列计算算术平均数例3-2 对某品牌100个节能灯泡的使用寿命的测试数据 如表3-3所示。试计算这批灯泡的平均使用寿命。解：平均使用寿命为：x xi f ii 1 n

表3-3 节能灯泡使用寿命的分组数据使用寿命 (小时) 组中值 (x) 数量 (f ) xf 频率 (f/Σ f) x f /Σ f

i 1

n

fi

154200 100

1000以下 1000-12001200-1400 1400-1600 1600-1800

900 11001300 1500 1700

2 816 35 23

1800 880020800 52500 39100

0.020 0.0800.160 0.350 0.230

18 88208 525 391

1542

要点： 各组变量值用组 中值来代表。 假定条件是各组 内数据呈均匀分 布或对称分布。

1800-2000 2000以上合 计

1900 2100——

12 4100

22800 8400154200

0.120 0.0401.000

228 841542

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4.对相对数求算术平均数(袁卫等《统计学》没有！)

当对一系列相对数进行平均时，由于各 个相对数的对比基础不同，采用简单算 术平均通常不合理，需要进行适当的加 权。– 看一个例子：

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例3-3 某公司有三个下属企业，本期各企业的 商品流通费用率和商品销售额数据如表3-4所示， 试求该公司这三个下属企业的平均流通费用率。(流通费用率=流通费用/商品销售额×100%)解： x xi f i f ii 1 i 1 n n

16 % 1600 10 % 4750 12 % 4000 1600 4750 4000表 3-4

1211 10350

100 % 11 . 7 %

权数的选择必须符合 该相对数本身的计算 公式。 算术平均时，权数应 为该相对数的分母指 标。

企业 甲 乙 丙 合计

流通费用 商品销售 流通费用 率(%) 额(万元) (万元) 16 10 12 11.7 1600 4750 4000 1035

0 256 475 480 1211

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5.算术平均数的主要数学性质(1)算术平均数与变量值 个数的乘积等于各个变量 值的总和。【教材上没提】 (2)各变量值与算术平均 数的离差之总和等于零。nx xii 1 n

i 1

( xi x ) 0

n

(3)各变量值与算术平均 n 2 ( 数的离差平方之总和为 xi x ) min i 1 最小。 问题：如果算术平均数为加权算术平均形式， 那么上述三个表达式各是什么？