2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何4(球的切接问

立体几何-球的切接问题

2014-2019年高考数学真题分类汇编

专题10：立体几何（球的切接问题）

选择题

1．（2014?大纲版理）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A ．814π

B ．16π

C ．9π

D ．274

π 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体

【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，求出1PO ，1OO ，解出球的半径，

求出球的表面积．

【解答】解：设球的半径为R ，则

棱锥的高为4，底面边长为2，

222(4)R R ∴=-+，

94

R ∴=， ∴球的表面积为29814()44ππ=

． 故选：A ．

【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．

2．（2014?陕西理）已知底面边长为1为( )

A ．323π

B ．4π

C ．2π

D ．43

π 【考点】球的体积和表面积

【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径1R =，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．

【解答】解：正四棱柱的底面边长为1，

立体几何-球的切接问题

∴2= 又正四棱柱的顶点在同一球面上，

∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径1R = 根据球的体积公式，得此球的体积为34433

V R ππ==． 故选：D ．

【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．

3．（2015?新课标Ⅱ文）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=?，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

【考点】球的体积和表面积

【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．

【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的

半径为R ，此时2311136326

O ABC C AOB V V R R R --==???==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大是关键．

4．（2016?新课标Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )

A ．12π

B ．323π

C ．8π

D ．4π

【考点】球的体积和表面积

【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，

立体几何-球的切接问题

=

所以球的表面积为24(3)12ππ=．

故选：A ．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．

5．（2016?新课标Ⅲ文理）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，

8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )

A ．4π

B ．92π

C ．6π

D ．323

π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【分析】根据已知可得直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为

32

，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：

AB BC ⊥，6AB =，8BC =， 10AC ∴=． 故三角形ABC 的内切圆半径681022

r +-=

=， 又由13AA =， 故直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32

， 此时V 的最大值3439()322ππ=， 故选：B ．

【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

6．（2017?新课标Ⅲ文理）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A ．π

B ．34π

C ．2π

D ．4

π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；LR ：球内接多面体

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

∴该圆柱底面圆周半径r ==，

∴该圆柱的体积：2314V Sh ππ==??=．

立体几何-球的切接问题

故选：B ．

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．

7．（2018?新课标Ⅲ文理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形

且面积为D ABC -体积的最大值为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的内接多面体；

【分析】求出，ABC ?为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．

【解答】解：ABC ?为等边三角形且面积为2AB =6AB =， 球心为O ，三角形ABC 的外心为O '，显然D 在O O '的延长线与球的交点如图：

2

63O C '==，2OO '=， 则三棱锥D ABC -高的最大值为：6，

则三棱锥D ABC -体积的最大值为：3163=． 故选：B ．

【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

8．（2019?新课标Ⅰ理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ?是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=?，则球O 的体积为( )

A ．

B ．

C ． D

【考点】球的体积和表面积，，多面体外接球体。

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P ABC -为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的体积

立体几何-球的切接问题

【解答】解：如图，

由PA PB PC ==，ABC ?是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，

则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G ，

则AC BG ⊥，又PO AC ⊥，PO BG O =，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥， E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，

又90CEF ∠=?，即EF CE ⊥，PB CE ∴⊥，得PB ⊥平面PAC ，

∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为D ==

，则球O 的体积为343π?=． 故选：D ．

【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．

填空题

1．（2017?新课标Ⅰ文）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 36π ．

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体

【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．

【解答】解：三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是 …… 此处隐藏：1761字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……