高中数学导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32

f(x) x 3x 2在区间 1,1 上的最大值是 2 1．

2

2．已知函数y f(x) x(x c)在x 2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

3

3．函数y 1 3x x有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

3

1, 3 处的切线方程是 y x 2 y 4x x1．曲线在点

4

2．若曲线f(x) x x在P点处的切线平行于直线3x y 0，则P点的坐标为 （1，0）

4

y x3．若曲线的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为 4x y 3 0

4．求下列直线的方程：

322

（1）曲线y x x 1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y x过点P(3,5)的切线；

32

y/ 3x2 2x k y/|x －1 3－2 1

解：（1） 点P( 1,1)在曲线y x x 1上，

即x y 2 0 所以切线方程为y 1 x 1 ，

2/ （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0 x0①又函数的导数为y 2x，

所以过

2x0

A(x0,y0)

点的切线的斜率为

k y/|x x0 2x0

，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有

y 5

x0 3

x0 1 x0 5 y 1 或 y 25

0

②，由①②联立方程组得， 0，即切点为（1，1）时，切线斜率为

k1 2x0 2;

；当切点为（5，25）时，切线斜率为k2 2x0 10；所以所求的切线有两条，方程分

即y 2x 1 或y 10x 25 别为y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5)，

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

32

f(x) x ax bx c,过曲线y f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1．已知函数

（Ⅰ）若函数f(x)在x 2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

322

f(x) x ax bx c,求导数得f(x) 3x 2ax b. 解：（1）由

过y f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：

y f(1) f (1)(x 1),即y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).

的切线方程为y 3x 1. 而过y f(x)上P[1,f(1)]

3 2a b 3

故 a c 3

2a b 0即

a c 3

① ②

∵y f(x)在x 2时有极值,故f( 2) 0, 4a b 12 ③

32

f(x) x 2x 4x 5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴

2

（2）f (x) 3x 4x 4 (3x 2)(x 2).

2

3 x 2时,f (x) 0;当 2 x 时,f (x) 0;

3当

2

当 x 1时,f (x) 0. f(x)极大 f( 2) 133 又f(1) 4, f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2

f(x) 3x 2ax b,由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又

2 依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x bx b 0.

x

①当

b

1时,f (x)min f (1) 3 b b 0, b 66； b

2时,f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b 6；

x

②当

612b b2 2 1时,f (x)min 0,则0 b 6.

b12③当

综上所述，参数b的取值范围是[0, )

32

2．已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x 1时取极值，且f( 2) 4．

(1) 求函数y f(x)的表达式； (2) 求函数y f(x)的单调区间和极值；

(3) 若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间[m 3,n]上的值域为[ 4,16]，试求m、n应满足的条件．

(x) 3x2 2ax bf解：(1) ，

2

由题意得，1, 1是3x 2ax b 0的两个根，解得，a 0,b 3．

3

f( 2) 4f(x) x 3x 2． c 2再由可得．∴

(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)f(2) ，

当x 1时，f(x) 0；当x 1时，f(x) 0；

当 1 x 1时，f(x) 0；当x 1时，f(x) 0；

当x 1时，f(x) 0．∴函数f(x)在区间( , 1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1, )上是增函数． 在区间[ 1,１

函数f(x)的极大值是f( 1) 0，极小值是f(1) 4．

(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f(x)在区间[ 3,n m]上的值域为[ 4 4m,16 4m]（m 0）． 而f( 3) 20，∴ 4 4m 20，即m 4．

于是，函数f(x)在区间[ 3,n 4]上的值域为[ 20,0]． 令f(x) 0得x 1或x 2．由f(x)的单调性知， 1剟n 4综上所述，m、n应满足的条件是：m 4，且3剟n

3．设函数f(x) x(x a)(x b)．

（1）若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为２，且f(x)在x 1处取极值，求实数a,b 的值；

6．

2，即3剟n

6．

（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．

解：（1）f(x) 3x 2(a b)x ab.

由题意f(2) 5,f(1) 0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2

令f(x) 0得方程3x 2(a 1)x a 0. （2）当b=1时，

2

2

4(a a 1) 0,故方程有两个不同实根x1,x2． 因

''

x xf(x) 3(x x)(x x)f(x)的符号如下： 2，由12可判断不妨设1

'''x x时，x x x时，x x时，f(x)f(x)f(x)＞０ 1122当＞０；当＜０；当

因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

/f1．如右图：是f（x）的导函数， (x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）

（A） （B） （C） （D） 2．函数

y

13

x 4x 1的图像为3( A )

32

3．方程2x 6x 7 0在(0,2)内根的个数为 ( B )

A、0 B、1 C、2 D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

1

f(x) x3 2ax2 3a2x b,0 a 1.

31．设函数

（1）求函数f(x)的单调区间、极值.

（2）若当x [a 1,a 2]时，恒有|f(x)| a，试确定a的取值范围.

22

x a,x2 3a f(x) x 4ax 3a解：（1）= (x 3a)(x a)，令f(x) 0得1

列表如下：

x （-∞，a） a

（a，3a） 3a +

0 极大

（3a，+∞） -

f (x) f(x)

- 0 极小

∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

4

f极小(x) b a3

3，x 3a时，f极小(x) b x a时，

22

f(x) x 4ax 3a（2）∵0 a 1，∴对称轴x 2a a 1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减

(a 1)2 4a(a 1) 3a2 2a 1fmin (a 2)2 4a(a 2) 3a2 4a 4fMax∴，

| a|f | a，|fmin 依题|f(x)| a Max 即|2a 1| a,|4a 4| a

44 a 1[,1)解得5，又0 a 1 ∴a的取值范围是5

2

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函

数f（x）的单调区间 （2）若 …… 此处隐藏：5232字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……