线性代数第一章

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线性代数第一章 矩阵及其运算 第二章 矩阵的初等变换与线性方程组 第三章 向量组的线性相关性 第四章 相似矩阵与二次型

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第一章 矩阵及其运算第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 矩阵的概念 矩阵的运算 矩阵的分块 方阵的行列式 可逆矩阵

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第一节

矩阵的概念

一. 引例 二. 矩阵的定义 三. 几种特殊的矩阵

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一.引例例1 假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的3门课程 (语文、 数学、英语)的期末考试成绩.若按满分100 分评定, 期末各科成绩如右表.更简单地,可将这个表格记为:数学 甲 乙 丙 丁 90 78 92 66 语文 86 80 93 74 英语 95 70 96 75

90 78 92 66

86 80 93 74

95 70 96 75 4 3

这样的一个矩形数表就称为一个4行3列的矩 阵.

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例2 设有三个炼油厂以原油作为主要原料,利用一吨原油生

产的燃料油、柴油和汽油数量如下表(单位:吨)第一炼油厂 燃烧油 柴 油 汽 油 0.765 0.190 0.286 第二炼油厂 0.476 0.476 0.381 第三炼油厂 0.286 0.381 0.571

以上数据按原来的排列顺序可以组成一个3行3列的数表, 称之为3阶方阵(或3阶矩阵)

0.762 0.476 0.286 0.190 0.476 0.381 0.286 0.381 0.571 3 3

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例3 某厂向三个商店发送四 种产品的数量可列成矩 阵 a11 a12 a13 a14 A a a a a 21 22 23 24 a a a a 33 34 3 4 31 32 其中 aij 为工厂向第 i个店发送第 j种产品的数量 .例4 四个城市间的单向航线如下图所示 从 i 市到 j市有1条单向航线 1, 若令aij 0, 从 i 市到 j市没有单向航线. 则右图可用矩阵表示为 0 1 A (aij ) 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

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二. 矩阵的定义 定义1 由m n个数 aij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)排成的

称为一个 m n矩阵.其中 aij 称为矩阵第 i行第 j列的元素 . 通常用大写拉丁字母 A, B, C等表示矩阵 . 有时为了指明矩阵的行 数与列数 , 也可以将 m行n列的 矩阵 A , 记作 A m n. 或 A (aij ) m n 1. 行数m与列数n相等的矩阵 A称为n阶方阵 2. 元素全为0的矩阵称为零矩阵, 记作0 m n , 或0(零阵不惟一) 3. 只有一行的矩阵A (a1 , a2 , , an )称为行矩阵, 又称行向量; 同样只有一列的矩阵称 为列矩阵.

a11 a 一个 m行n列的数表 21 a m1

a12 a22 am 2

a1n a1n amn m n

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三. 几种特殊的矩阵1. 对角矩阵 a11 0 形如 0 0 0 a22 0 0 ann n n

的n 阶矩阵 , 称为对角矩阵 .也可记作 diag(a11, a22 , ,ann ) 其中 a11, a22 , , ann位于矩阵的主对角线上 , 称为主对角线上 的元素 , 其他元素全为零 .

0 0 1 例如

diag(1, 2 , 3) 0 2 0 0 0 3

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2. 数量矩阵对角矩阵的主对角线上 的元素都相同的矩阵 a 0 0 0 a 0 称为数量矩阵 .记作 diag(a, a, , a) 0 0 a 1 0 0

0 1 0 为 n 阶单位 特别地当 a 1 时, 称 n 阶数量矩阵 0 0 1 矩阵 , 记作 En , E , I n , I 等等 .单位矩阵不是惟一的.如 E2≠E3

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3. 上三角矩阵与下三角矩阵 a11 a12 a1n 0 a a 22 2n 形如 的矩阵 0 0 a nn n n 即主对角线左下方的元 素全为零的 n 阶方阵 , 称为上三角矩阵 .

类似地 , 主对角线右上方的元素 全为零的 n 矩阵 a11 0 0 a 21 a22 0 称为下三角矩阵 . a a a n2 nn n1 对角矩阵既可以看成是 上三角矩阵 , 也可以看成是下三角矩 阵.

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4. 对称矩阵与反对称矩阵如果 n 阶矩阵 A (aij ) n n 的元素满足 aij a ji (i, j 1,2, , n), 则称 A 为 n 阶对称矩阵 . 2 0 4 就是一个 3 阶对称矩阵 . 例如 A 2 3 1 0 1 5 如果 n 阶矩阵 A (aij ) n n 的元素满足 aij a ji (i, j 1,2, , n), 则称 A 为 n 阶反对称矩阵 .据此 , 反对称矩阵主对角线上 的元素 aii 满足 aii aii (i 1,2, , n), 故有 aii 0 (i 1, 2 , , n)

1 3 0 是一个 3阶反对称矩阵 例如 A 1 0 2 3 2 0

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第二节一 二 三 四 五

矩阵的运算矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的幂

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一、矩阵的加法

注意:只有当两个矩阵是同类型的矩阵时,才能进行加法运算

由此得矩阵 A与B相等是指 A和B的对应元素都相等 .

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二、 数与矩阵的乘法

定义3 数 与矩阵 A的乘积记作 A或 A , 规定为

数乘矩阵满足以下运算 规律(设A, B为同类型 m n矩阵, , 为数)

a11 a12 a1n a a22 a2n 21 A A a a a m2 mn m n m1(2) ( ) A A A

(1)

( ) A ( A)

(3) ( A B) A B 矩阵相加与数乘矩阵合 起来, 统称为矩阵的线性运算 .

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三、矩阵与矩阵的乘法1. 线性变换 n个变量 x1, x2 , , xn 与m个变量 y1, y2 , , ym之间的关系式

y1 a11x1 a12 x2 a1n xn y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ym am1x1 am 2 x2 amn xn

(1)

表示一个从变量 x1 , x2 , , xn 到变量 y1 , y2 , , ym的线性变换 , 其中 aij 为常数 .线性

变换 (1)的系数构成矩阵 A (aij ) m n .

给定了线性变换 (1), 它的系数所构成的矩阵 (称为系数 矩阵 )也就确定 .反之 , 如果给出一个矩阵作为 线性变换的 系数矩阵 , 则线性变换也就确定 .在这个意义上 , 线性变换 和矩阵之间存在着一一 对应的关系 .

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例1 恒等变换 y1 x1 1 0 y2 x2 , 对应的 n 阶方阵为 E 0 y x n n

0 0 1 0 0 1

例2 线性变换 y1 1x1 1 0 0 0 2 0 y2 2 x2 对应的 n 阶方阵为 0 0 y x n n n n