电子科大概率论C2_1

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随 机变量的分布函数

10.11.23

第二章 随机变量的分布

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§2.1 随机变量的分布函数 §2.2 离散型随机变量 §2.3 连续型随机变量

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§2.1 随机变量的分布函数一、随机变量 定义： 定义：设E 的样本空间为 ,对于每一个样 本点ω ,都有唯一实数X(ω)与之对应, 且对 都有唯一实数 与之对应, 与之对应 于任意实数x,事件 于任意实数 ，事件{ ω| X(ω) ≤ x }都有确定的概 都有确定的概 随机变量，简记为X. 率，则称X(ω) 为随机变量，简记为 则称 例子 摸彩赌博电子科技大学

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随机变量的优越性 1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通 将样本空间数值化、 将样本空间数值化 变量化( 常变量) 常变量); 2)可以完整地描述随机试验； 可以完整地描述随机试验； 可以完整地描述随机试验 3)可以借用高等数学工具来解决随机问题. 可以借用高等数学工具来解决随机问题. 可以借用高等数学工具来解决随机问题 二、分布函数 从定义可见， 从定义可见，对任一实数 x 都有实数 P{ ω| X(ω) ≤ x } 与之对应，即构造了一个函数. 与之对应，即构造了一个函数.电子科技大学

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定义： 定义：设X是一个随机变量， x 是任意实 是一个随机变量， 是一个随机变量 数，称函数 F( x ) = P{ X ≤ x } = P{ ω: X(ω) ≤ x }, 为随机变量X 的分布函数, 也记为F 为随机变量 的分布函数 F( x ) 也记为 X( x ). 注：(1)分布函数 x )的函数值表示事 )分布函数F( 的函数值表示事 随机点X落在 落在(- 件 “随机点 落在 -∞, x ]内” 的概率 内 的概率. XO

x

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(2) F( x )的改变量 ) 的改变量 F = F( x + x) - F( x ) = P{x < X≤ x + x } 是事件“随机点 落在(x 是事件“随机点X 落在 , x + x ]内”概率 内 概率.X O x x+ x x

例如

摸球试验 射击试验 仪器寿命问题电子科技大学

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分布函数的性质： 分布函数的性质： 为单调不降函数, (1) F( x ) 为单调不降函数, 即若 x1 ≤ x2 , ) 则有F( 则有 x1 ) ≤ F( x2 ) . (2) 0≤F( x ) ≤1,且 ) ,x → +∞

lim F ( x ) = 1,

x → ∞

lim F ( x ) = 0

是右连续函数, (3) F( x ) 是右连续函数, 即 ) F( x +0 ) = F( x ) P{X= x}=F( x) -F( x-0 ) { }电子科技大学

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分布函数的性质可以用来确定某一函数是否 为一个随机变量的分布函数， 为一个随机变量的分布函数，或用来求解分布 函数. 函数. 例如 分布函数的确定

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一个庄家在一个签袋中放有8个白 个 个白、 例1 一个庄家在一个签袋中放有 个白、8个 黑的围棋子.规定 每个摸彩者交一角钱作“ 规定： 黑的围棋子 规定：每个摸彩者交一角钱作“手 续费” 然后一个从袋中摸出五个棋子， 续费”,然后一个从袋中摸出五个棋子，按下 摸子中彩表” 彩金” 面“摸子中彩表”给“彩金”.摸到 彩金 五个白 2元 元 四个白 2角 角 三个白 5分 分 其它 共乐一次

解：用“i”表示模出的五个棋子中有 i 个白子， 表示模出的五个棋子中有 个白子， 则试验的样本空间为 W = {0,1,2,3,4,5} , , , , ,电子科技大学

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单位:元 表示赌徒摸一次得到的彩金 表示赌徒摸一次得到的彩金， 用Y (单位 元)表示赌徒摸一次得到的彩金， 单位 则有 Y ( i ) = 0,i = 0,1,2 , , , Y ( 3 ) = 0.05, Y ( 4 ) =0.2,Y ( 5 ) = 2 , , Y 是定义在 上的随机变量 对于每一个 i , 是定义在W上的随机变量 上的随机变量, 都有一个实数与之对应. 都有一个实数与之对应 并且2 3 P{Y = 0.05} = P { 3 } = C8 C8 C5 = 0.3589 16 1 4 P{Y =0.2} = P { 4} =C8C8 C5 =0. 1282 16 电子科技大学

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随 机变量的分布函数 5 P{Y =2} = P {5} =C8 C5 =0. 0128 16

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P{Y =0} = P { 0,1,2} =1 0. 3589 0. 1282 0. 0128 =0. 5001 对于任意实数x, 对于任意实数 ，{X(ω) ≤ x }是一个随机事 是一个随机事 从而有确定的概率. 件，从而有确定的概率 例如 P{Y ≤ 0.5} = P( φ ) = 0 P{Y δ 1.2} = P { 0,1,2,3,4 } =1 0.0128 = 0.9872 P{Y ≤ 5} = P( ) = 1电子科技大学

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总结：从本例中可看到，随机变量 完 总结：从本例中可看到，随机变量Y完 整地描述了试验的全过程， 整地描述了试验的全过程，而不必对每 一个事件进行重复讨论. 进一步， 一个事件进行重复讨论 进一步，可以 把高等数学工具用在对随机试验的分析. 把高等数学工具用在对随机试验的分析.

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一袋中有依次标有-1、 、 、 、 、 例2 一袋中有依次标有 、2、2、2、3、 3数字的六个球，从中任取一球，试写出 数字的六个球，从中任取一球， 数字的六个球 球上号码X 的分布函数. 球上号码 的分布函数 解：由题意有1 1 1 P{ X = 1} = , P{ X = 2} = , P{ X = 3} = 6 2 3

当x < -1时, 时 F(x) = P{ X≤x } = P(φ ) = 0.X x -1 O 1 2 3 x电子科技大学

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当-1 ≤ x < 2时, 时 F(x) = P{X≤x } = P{X = - 1 } = 1/6 .X -1 Ox 1 2 3 x

当2 ≤ x < 3时, 时 F(x) = P{ X≤x } = P{X = - 1 } + P{X = 2 } =2/3 .X -1 O 1 2 x 3 x电子科技大学

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当3 ≤ x 时,

F(x) = P{X≤x } = P{ W } = 1 .-1 O 1 2 X 3 x x

综上所述, 综上所述,可得

0 1 6 F (x) = 2 3 1

x < 1 1 δ x < 2 2 δ x <3 x ε3电子科技大学

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F(x)

1

-1

O

1

2

3

x

是右连续的单调不降阶梯函数， 是右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点 处的阶跃值恰为P{X=k}, k=-1,2,3. 处的阶跃值恰为

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