高考数学复习总结篇：圆锥曲线方程(文科数学)

课题

圆锥曲线方程(文科数学)双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.

考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.

考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

知识回顾： 1.圆锥曲线的两个定义：(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中，与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1 F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 -F 2 |, 定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 -F 2 |不可忽视。 若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线， 若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，

2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：焦点在 x 轴上时

x2 y2 2 1 ( a b 0 ) x a cos ( 为参数) , 2 y b sin a b y2 x2 =1( a b 0 ) a2 b2

焦点在 y 轴上时

x2 y2 y2 x2 (2)双曲线：焦点在 x 轴上： 2 2 =1,焦点在 y 轴上： 2 2 =1( a 0, b 0 ) 。 a b a b(3)抛物线：开口向右时 y 2 px( p 0) ,2 2

开口向左时 y 2 px( p 0) ,2 2

开口向上时 x 2 py ( p 0) , 开口向下时 x 2 py ( p 0) 。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) :(1)椭圆：由 x , y2 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

x2 y2 1 表示焦点在 y m 1 2 m

轴上的椭圆，则 m 的取值范围是__(答： ( , 1) (1, ) ) (2)双曲线：由 x , y2 2

3 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

【特别提醒】在椭圆中， a 最大， a 2 b2 c 2 ,在双曲线中， c 最大， c 2 a 2 b2 。 4.圆锥曲线的几何性质：(1)椭圆(以

x2 y2 : 1 ( a b 0 )为例) a2 b2

①范围： a x a, b y b ; ②焦点：两个焦点 ( c,0) ; ③对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 ( a, 0), (0, b) , 其中长轴长为 2 a ,短轴长为

2 b ; ④准线：两条准线 x ⑤离心率： e

a2 ; c

c ,椭圆 0 e 1 , e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。 a x2 y 2 (2)双曲线(以 ： 1 ( a 0, b 0 )为例) a 2 b2①范围： x a 或 x a, y R ; ②焦点：两个焦点 ( c,0) ; ③对称性： 两条对称轴 x 0, y 0 , 一个对称中心 (0,0) 两个顶点 ( a,0) , , 其中实轴长为 2 a , 虚轴长为 2 b , 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x 2 y 2 k , k 0 ;

a2 ④准线：两条准线 x ; c⑤两条渐近线： y ⑥离心率： e

b x a双曲线 e 1 ,

c , a

e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；(3)抛物线(以 y 2 px( p 0) 为例)----- p 的几何意义是：焦点到准线的距离：2

①范围： x 0, y R ; ②焦点：一个焦点 (

p , 0) , 2

③对称性：一条对称轴 y 0 ,没有对称中心，只有一个顶点(0,0) ; ④准线：一条准线 x ⑤离心率： e

p ; 2

c ,抛物线 e 1 。 a

例题讲解1.圆锥曲线的两个定义： 例 1.已知定点 F1 ( 3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF1 PF2 4 B. PF1 PF2 6 C. PF1 PF2 10 D. PF12

PF2

2

12 ;

例 2.方程 ( x 6) 2 y 2 ( x 6) 2 y 2 8 表示的曲线是_____ 例 3.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____ 4

答案： 答：C) 答：双曲线的左支) 答：2) (1 (2 (3 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : 例 1.已知方程

x2 y2 1表示椭圆，则 k 的取值范围为____; 3 k 2 k x2 y2 5 ,且与椭圆 1 有公共焦点，则该双曲线的方程_______; 2 9 4

例 2.双曲线的离心率等于

F 例 3.设中心在坐标原点 O , 焦点 F1 、 2 在坐标轴上， 离心率 e 答案： 答： ( 3, ) ( , 2) )(2 答： (1 ; 4.圆锥曲线的几何性质： 例 1.若椭圆

2 的双曲线 C 过点 P(4, 10 ) , C 的方程为_______ 则

1 2

1 2

x2 ; y 2 1 )(3 答： x 2 y 2 6 ) 4

x2 y2 10 ,则 m 的值是__ 1 的离心率 e 5 m 5

例 2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为__ 例 3.双曲线的渐近线方程是 3x 2 y 0 ,则该双曲线的离心率等于______2 2 例 4.双曲线 ax by 1 的离心率为 5 ,则 a : b =

例 5.设双曲线

x2 y2 1 (a>0,b>0)中，离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值范围是________ a2 b22

例 6.设 a 0, a R ,则抛物线 y 4ax

的焦点坐标为________

答案： 答：3 或 (1 (6 答： (0,

25 13 13 1 )(2 答： 2 2 )(3 答： ; ; 或 )(4 答：4 或 )(5 答： [ , ] ) ; ; ; 2 3 3 4 3 21 ; )) 16 a

课题

圆锥曲线方程(文科数学)双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.

考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.

考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

真题练笔 PART109 年选择题

x2 y 2 1 (a b 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上，且 BF x 轴， a 2 b2 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP 2 PB ,则椭圆的离心率是( )1.(2009 浙江文)已知椭圆w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 32

D.

1 2

2.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ax (a 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原 点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 4 x2

). C. y 4 x2

B. y 8 x2

D. y 8 x2

3.(2009 全国卷Ⅱ文)双曲线

x2 y2 1 的渐近线与圆 ( x 3) 2 y 2 r 2 (r 0) 相切，则 r= 6 3(C)3 (D)62

(A) 3

(B)2

4.(2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线 C: y 8 x 相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若

FA 2 FB ,则 k=1 32 3

(A)

(B)

(C)

2 3

(D)

2 2 3

1.D【解析】对于椭圆，因为 AP 2 PB ,则 OA 2OF , a 2c, e 2

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