独立同指数分布随机变量和的高阶矩的计算

均匀分布与指数分布

第3卷第4 1期21 0 1年 1月 2

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Vo . 1 NO 4 13 .De . 2O1 c 1

j oURNAI OF L AOI NG S HUA I NI HI UNI VERS TY I

文章编号： 6 2 9 2 2 1 ) 4 0 8一 O I 7—6 5 ( 0 1 O— O 8 3

独立同指数分布随机变量和的高阶矩的计算李金秋，于晶贤，赵晓颖(X宁石油化工大学理学院，宁抚顺 1 3 0 ) i辽 10 1

摘

要：研究了独立同指数分布随机变量和的高阶矩。利用数学归纳法对指数分布随机变量的高阶矩进行

了计算，以此为基础，合组合数学中的多项式定理和整数分拆的相关知识对独立同指数分布随机变量和的高阶并结

矩进行计算，到了其高阶矩的计算公式，利用数值例子进行了说明。得并关键词：指数分布；随机变量和；高阶矩；多项式定理；数学期望 中图分类号：O 1 21文献标识码： A d i1 . 6 6jis. 6 2 92 2 1 . 4 0 3 o:0 3 9/.sn 17—6 5 . 0 10 .2

Co p t to fH i h r Or e o e to u o n e e d n n m u ain o g e— d rM m n fS m fI d p n e ta d I e tc l s rb t d Ex o e ta n o Va i b e d n i al Diti u e p n n ilRa d m ra l s yLIJn— q u i i,YU ig— x a Jn in,Z AO a— yn H Xio i g( o l e f S i cs L a nn h h a U i es y, s u i o i g 1 3 0, R. h n ) C l g ce e, i o i gS i u nv ri Fuh n a nn 1 0 1 P. C ia e o n t LRe e v d 1 S ptm b r 2 1;r v s d 1 e e e 0 1 c e e t b r 2 1 c i e e e e 0 1 e ie 5 S pt mb r2 1;a c ptd 9 Oco e 0 1 Ab ta t Th i h r o d r mo n f s m f i d p n e t a d i e tc l it i u e x o e t l r n o v ra ls wa sr c: e h g e— r e me t

o u o n e e d n n d n ia l d s r td e p n n i a d m a ib e s y b a

i v si a e .Th i h r mo n fe p n n ilr n o v ra l wa o n e tg t d ehg e— me to x o e t a d m a ib e a s c mp t d b t e t a n u t n me h d Ba e o u e y ma h ma i li d c i t o . c o s nt i e u t o bn n h l n mil h o e a d t e k o e g b u h a t in o n e e o h s r s l,c m i i g t e mu t o a e r m n h n wl d ea o tt e p ri o f t g ri c mb n t rc,t e h e— i t t i n i a o is h h r o d r mo e t f u r e m n o s m o i d p n e t n i e tc l d s r u e e p n n il a d m v r b e wa c mp t d n t e f n e e d n a d d n ia l y it i t d x o e ta r n o b a i ls a s o u e a d h c mp t t n f r l s g t o u a i o mu a wa o .Atls,t e c n l so s i u ta e y n me ia x mp e o a t h o c u i n wa l s r t d b u rc l a l. l e Ke wo d: y r s Ex o e ta d srb t n; S m o r n o p n n i l it i u i o u f a d m v r b e; Hi h r— o d r a i ls a g e r e m o n; M u tn mi l h o e; me t l o a t e r m i

M a be a ia x c a in t m tc le pe tto

Co rs o dn uh r re p n iga t o .Te.+ 8— 1 8 1 3 0 1 e maly n h y ee y u 1 3 c r 1: 6 5 4 3 3 8;- i: u z e u se o@ 6 . o n

随机变量许多重要数字特征都与该随机变量的高阶矩有关 l,如， _例】]随机变量的一阶原点矩是该随机变量的数学期望，随机变量的二阶中心距是该随机变量的方差，随机变量的标准化量的三阶矩是该随机变量的偏度，准化量的四阶矩是该随机变量的峰度等，

标这些高阶矩在金融投资、险和数据传输中都有着重要保的应用]因此，阶矩的计算就显得尤为重要。,高

独立同指数分布随机变量和的分布与数字特征是保险和精算领域的重点研究对象之一。精算学中将被保险人的理赔额看做是一个随机变量，由于多个被保险人之间通常是彼此没有联系的，因此保险人在保单存续期内的总的理赔额就可以看做是这些彼此相互独立的随机变量的和。研究这个和的分布及其数字特征对

于保险公司而言有着重要的实际意义。本文选取了指数分布为研究对象，对指数分布随机变量的高阶矩和独立同指数分布随机变量和的高阶矩进行了计算，到了相应的计算公式。得

1基本概念及引理 定义 1 若连续型随机变量 X的概率密度为： E 收稿日期：0 1 9 1 2 1—0—0

作者简介：李金秋 (9 O )女，北平泉县，师，士。 18一，河讲硕

均匀分布与指数分布

第 4期

李金秋等 .立同指数分布随机变量和的高阶矩的计算独

厂) f ' (一 z1 0,

z ≥oX< 0

其中，>0是常数， ,则称 X服从参数为的指数分布。 指数分布是一种重要而且常见的连续型分布，常用它来作为各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿例命、物的寿命、动随机服务系统中的服务时间等，以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的所应用。

引理 i8 ([多项式定理 )令为一正整数。对所有的 z,。…,有： 3 X,

c计 .一善：科 . .+J

) 2……曲

∈ N,一 1 ’ J…

其， .)中：一 ( .咒

称多式数为项系。、 ,

引 2程。z… z 非整解个为nm 1理[ 9 z。+的负数的数+ -1方++一。

根引 2合 ( 可表成式∑ 1据理，数一)以示和 。组十、 , f I n1

+…+n=

: N』, ∈,…, 1

引理3

若 X X…,是相互独立的随机变量，. z) i 1 2…, )实变连续函数，,, X Yf ( (一，, 是则

f ( , z Xz,, X也相互独立。 X )f ( )… f ( )

引理 4[

若 X,,, X。…

X是 m个随机变量， k,,是 m个常数，: k,…愚则

E∑是一∑ k ( ( ) x X) E引理 5 m若 X, …, X, X是个相互独立的随机变量， k,,是个常数，: k,。… k则

EⅡ愚一 i ( ( ) Y k X) x E

2主要结论 定理 1设 X服从参数为的指数分布， X的阶矩为： 则E( )一 X,k一 1 2,,, 3…

证明：利用数学归纳法证明。

当 k时， (一』。— x÷,一1 E x)。 e d z定理成立。^

假设对于志 (￣ 2惫一1 k,∈z)定理成立， E( =即 X一 )==E( X E( 一 l x)J0

,:则=

x A - d一一 k￣d e

x一一l00

d e一 j。z e x ( )一 。 e d e ) 一一dA 0 0

kE( X E H )一 )一竺A’

定理得证。

定理 2设 X xz…,,, x独立同指数分布于参数为的指数分布，:则

EX x .[ z . -++. (+证明：根据引理 1,。 有

簪(

)=’, 1' , l, ,, m 2… 2… 3 3

E z+, E n)[++ x][: c x…一 . x n m根据引理 4有：,

]

均匀分布与指数分布

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辽宁石油化工大学学报

第3 1卷

由 X X…,是相互独立的随机变量，据引理 3知 X,;,, 也相互独立，合引理 5有，, X根 X z… X结，E( X:Xn…X z )=E( ) X ) X E(。…E( )从而有： X,

善：( n j∈ N,一 1,, J…

∑穗m

)

…一 ”+…+” 1 m= n

根据定理 1有：,

(2 1∽…\/眦眦 … l r lm

:( )譬… 昔 l t 2、￡,l‘ m n n n

n j∈ N, 1…, J

根据引理 2有：,

毳， ) 一墓 簪簪…! n m综上，定理得证，:即

(:)卅_ 1

x x . .++.+3计算实例 的竹阶矩，见表 1。卜∈

)

∑ 2的结论， m一1 2,,;一1,,,,到 m个独立同指数参数为的指 …… 此处隐藏：3084字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……