2.3离散型随机变量的均值(南海中学杨鑫)

第二章2.3离散型随机变量的均值

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2-3第二章2.3 离散型随机变量的均值

南海中学 杨鑫

【教材】人教 A 版数学选修2-3第二章2.3离散型随机变量的均值第 1 课时

【教学对象】

一、内容和内容分析

（一）历史背景

本节内容是掌握好随机变量的概念和随机变量分布列的进阶课程,它内涵丰富，在概率

论、统计学、金融学等领域有着广泛的应用。而理解随机变量的均值，前提是对概率的定义

有深刻的理解。

翻开数学史，研究随机现象的概率论出现在17世纪中叶,象征着概率论诞生的标志是克

里斯蒂安·惠更斯在1657 年发表的《论概率博弈的计算》一文。他提出:“尽管在一个纯粹运

气的游戏中结果是不确定的，但一个游戏者或赢或输的可能性却可以确定。”

他提出公平博弈的一条公理，即“每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注

冒险而不愿拿出更多的数量。赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数。”论文推

导出有关数学期望的三个基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了许多复杂的博弈问题。

他提出了14个命题，并给出了非常详细的推理，特别是计算概率的方法：一个游戏的

结果不确定，但是每个人输赢的机会取决于一个确定的机会的值。一个机会的值便是期望，即一个人愿意为玩一次游戏所支付的成本。

命题一：若某人在博弈中以等概率得,a b 元，则其期望为

2

a b +元， 命题二：若一个人在博弈中以等概率13得,a b c ,元，则其期望为3

a b c ++元。 命题三：若一个人博弈中以概率,(1)p q p q +=得,a b 元，则其期望为pa qb +元。 （二）知识点分析

均值即平均数，学生对于知识的认识，停留在求一组数据的算数平均数，必修三的统计

模块内容也学过利用样本的平均分去估计总体平均数的方法。

而随机试验、随机变量、随机变量的分布列，学生学习过选修2-3的2.1节后，已经理

解掌握，但是很难将一组数据的算数平均数即均值，跟随机变量联系在一起。

“期望值”这个名词，我们常常会听到“人们对某公司即将推出的某新产品期望值很高”，

但很少在数学课堂上听到。所以，我们直观感知上更难将“期望值”与“均值”这两个概念等价

起来。

二、目标和目标解析

结合上述的教学内容及其分析，我们认为“离散型随机变量的均值（期望）第 1 课时

的主要教学目标是：

1.通过具体的情境问题，理解“一个机会的值便是期望，即一个人愿意为玩一次游戏所

支付的成本”；

2.引导学生，理解随机变量的均值与算术平均值、样本均值的区别与联系；

3.理解引入概率研究随机变量均值的必要性。

三、教学现状 诊断分析

教的现状：概率统计都属于“随机性”数学，要寻找随机性中的规律性。学生接触“不确

定数学”往往使用确定性数学的思维模式去建构理解新问题，这就给教学带来了巨大困难。

很多老师对概率的思想理解不深刻，所以只能退而求其次，帮助学生总结习题类型和解题技

第二章2.3离散型随机变量的均值

巧，不关注随机性思想的逐步渗透，学生疲于应付考试，只关注做题。

学的现状：学生只是机械的套用熟悉的概率统计模型（超几何概率模型，二项分布概率模型），对于分析问题和解决问题，只是套用几个固定的模式和方法。面对实际问题，如果跟熟悉的概率模型差别比较大，就会束手无策。面对2016年理科数学新课标1卷，第三问“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选哪个？”，学生会求概率，也会求期望，最关键的是不知道如何选择合适的随机变量。

根据以上现状分析，在随机变量的教学过程中，应该要让学生的思维参与到概念的发现与建构过程中。

四、教学材料

准备课堂中所需要的数学游戏道具，在游戏的过程中思考提炼数学思想,在游戏中理解数学知识，使复杂的知识变得平易近人。

1.教学内容:

游戏1：现有一个博弈游戏，由裁判投掷一枚均匀的硬币，如果正面向上，你可以从赌场赢得赌金20元，如果反面向上，你就会输给赌场赌金20元。当你玩N盘（N趋近于无穷大），你会获得多少赌金。

学生活动:学生靠自己的生活经验得出正确的答案为0

教师活动:引导学生，用数学语言表述自己的观点，即：当游戏无限制的玩下去，正面向上和反面向上的次数会趋于相同，所以自己获得的赌金为趋近于0。教师再让学生思考，所获得的赌金是否是确定的？

学生思考：思考获得赌金的随机性，并初步感知，当N趋近于无穷大，获得赌金的稳定性。设计意图: 课前热身，理解大量重复随机试验中的规律性。

2.教学内容:

游戏2：有一个博弈游戏，裁判投掷一枚均匀的硬币，如果正面向上，你可以从赌场赢得赌金20元，如果反面向上，你就会输给赌场赌金10元。如果让你免费玩这个游戏，你会玩吗？

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学生活动: 分析与上一个游戏的异同，得出答案。

问题2.1：每玩一次游戏，赌场要向你收取10元的游戏费用，这个游戏你还会玩吗？

教师活动:指导学生分小组积极思考讨论，随机选择小组代表回答问题。引导学生回顾游戏1的分析过程，寻找突破口。

学生活动：积极思考，小组讨论。

问题2.2：每玩一次游戏收取多少的游戏费用，才是公平且合理的？

教师活动：引导学生用数学语言，整理思路，得到结论。

学生活动：按照游戏1思维延伸下去，当玩2N盘（N趋近于无穷大）的时候，N盘正面向上，获得赌金20N元，N盘反面向上，获得赌金10N元。共获得赌金10N元，平均每玩一局游戏，获得10N/2N=5元。

教师总结：

1.对于一个固定规则的博弈游戏，都有我们期望赢得的价值，我们也愿意为一次游戏的机会去付出相应的价值。

2.每次游戏中我们期望赢得的价值，相当于我们将游戏玩无穷多次后的平均每局的收益。设计意图：让学生在做游戏的过程中，体会人们在游戏中的期望值的精确地计算方法。准确理解：玩家对于某一局新游戏的期望收益=该游戏玩无穷多次后的平均每局的收益。

游戏3：如果把硬币改成抛掷骰子，你能够给赌场设计出更巧妙的游戏规则，使游戏者每玩一局游戏的期望为0.5 元

教师活动：教师引导学生总结归纳玩一局游戏的期望的精确计算方法。

学生活动：从做游戏，过渡到设计游戏规则，小组讨论，拿出具体的方案，各个小组派代表分享交流。

设计意图：深化概念理解，从能够运用知识解释问题，更近一步，能够创造问题，并解决问题。

3.教学内容:

游戏4：你手中现有1000元，现有一个博弈游戏，

规则一：由裁判投掷一枚均匀的硬币，如果正面向上，你可以从赌场赢得赌金1100元，如果反面向上，你就会输给赌场赌金1000元。你是否选择玩这个游戏？

现在更改游戏规则，

规则二：由裁判掷一枚均匀的硬币，如果正面向上，你可以从赌场赢得赌金11元，如果反面向上，你就会输给赌场赌金10元，

你能够解释，规则一和规则二之间的差异吗？

如果让你去选择游戏规则，你如何理性的做出决策呢？为什么？

教师活动：

总结归纳：面对一次随机掷硬币游戏，如何精确计算期望收益，即计算该游戏玩无穷多

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