函数极限定义证明习题解析

利用函数极限的定义证明函数极限 主要内容利用函数极限的定义证明函数极限习题

§ 3.1 习题

1．按定义证明下列极限

6x 5

(1). lim 6

x x

(2). lim(x2 6x 10) 2

x 2

x2 5

1 (3). lim2

x x 1

(4). lim 4 x2 0

x 2

(5). limcosx cosx0

x x0

2．根据定义2叙述limf(x) A

x x0

3．设limf(x) A，证明limf(x0 h) A

x x0

h 00

4．证明：若limf(x) A,则lim|f(x)| |A|,当且仅当A为何值时,反之也成立?

x x0

x x0

5．证明定理3.1

f(x0 0) A

limf(x) A

x x0 f(x0)A0

证： ：设limf(x) A

x x0

f (x)-A |< 对 >0， >0，当0<| x- x0|< ，有 |

从而， 当0< x- x0 < ，有 | f (x)-A |< ，即f (x0+0) = A 当0< x0- x < ，有 | f (x)-A |< ，即f (x0-0) = A

：设f (x0-0) = A，f (x0+0) = A

对 >0，由 f (x0-0) = A， 1，当0< x0- x < 1，有| f (x)-A |< ， f (x0-0) = A， 2，当0< x- x0 < 2，有| f (x)-A |< ， 取 =min{ 1, 2}，则当0<| x- x0|< ，有 | f (x)-A |< ，即limf(x) A

x x0

6．讨论下列函数在x 0时的极限或左右极限

|x|

(1). f(x) x

(2). f (x) = [x]

2xx 0

x 0 (3). f(x) 0

1 x2x 0

1

7．设limf(x) A，证明limf A

x x 0 x

利用函数极限的定义证明函数极限 主要内容利用函数极限的定义证明函数极限习题

111 1

,取 >0，要使 f A ，由limf(x) A, 只要 M,x ，则

x xxMM

1

当0< x < ，f A

x

证：对 >0，由limf(x) A， M>0，当x > M，有| f (x)-A |< ，

x

11 1

，则当0< x < ， M,有f A ，即lim

x 0 xM x

8．证明：对黎曼函数R(x)，有limR(x) 0, x0 [0,1]

取

1

f A x

x x0

pp 1当x(p,qN,为既约分数)

证：R(x) q qq

0当x 0,1,和(0,1)内的无理数

p 1p

对 >0，只有有限个既约分数，使得R(x) (这样的分数有1+2+3+…+q q q q

个)，取x0的空心邻域 ( x0, )，使 ( x0, )内不含这样的分数，则当x ( x0, )，有| R(x)-0 |< ，即limR(x) 0.

x x0

§ 3.2 习题

1．求下列极限

2

(1). lim2(sinx cosx x) 2 1 4

x 2

2

1x2 1

(2). lim2 1

x 02x x 1 1

x2 1(x 1)(x 1)x 12

(3). lim2 lim lim

x 12x x 1x 1(x 1)(2x 1)x 12x 13(x 1)3 (1 3x)x3 3x2 3x 1 1 3xx2(x 3)

(4). lim lim lim2 3

x 0x 0x 0x(1 2x)x2 2x3x2 2x3(x 1)(xn 1 xn 1 1)xn 1n(5). limm lim

x 1x 1x 1(x 1)(xm 1 xm 2 1)m(6). lim

x 4

2x 4x 2

lim

x 4

(1 2x 9)(x 2)(x 4)( 2x 3)

84

63

a2 x aa1

(7). lim lim

2x 0x 0x2ax(a x a)

利用函数极限的定义证明函数极限 主要内容利用函数极限的定义证明函数极限习题

(3x 6)70 (8x 5)20

(8). lim

x (5x 1)90

6 5

3 8x

x x

lim 90x

1

5x

x

7020

3070 820

590

2．利用迫敛性求极限

x cosx

(1). lim

x x

xsinx

(2). lim2

x x 4

3．设limf(x) A,limg(x) B，证明

x x0

x x0

(1). lim[f(x) g(x)] A B

x x0x x0

(2). lim[f(x) g(x)] AB (3). lim

f(x)A

(B 0)

x x0g(x)B

a0xm a1xm 1 a0

4．f(x)

b0xn b1xn 1 b0

求limf(x)

x

(m n)

解：当m<n，limf(x) 0，当m=n，limf(x)

x

x

a0

b0

5．设f (x) >0，limf(x) A，证明：lim

x x0

x x0

f(x) A (n 2为正整数)

6.证明lima

x 1 (0<a<1)

x 0

证： >0，要使 | ax -1| < ，只要 1- < ax <1+

利用loga x(当a<1时)的严格减性，只要 loga (1- ) > x > loga (1+ ) 取 = min{ loga (1- ), loga (1+ ) }， 则当0<| x | < ，| ax -1| < 即limax 1

x 0

7．设limf(x) A，limg(x) B

x x0

x x0

(1). 若在某 ( x0)内在f (x) > g (x)，问是否必有A > B，为什么？ (2). 证明：若A > B，则在某 ( x0)内在f (x) > g (x) 8．求下列极限

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x1 1|x|1

1 lim lim nnn x 0x 0x 0 1 x x1 xx1 x

|x|111x

(2). limlimlim 1

x 0 x1 xnx 0 x1 xnx 0 1 xn

x x2 xn n(x 1) (x2 1) (xn 1)

(3). lim lim

x 1x 1x 1x 1

lim1 (1 x) (x2 x 1) (x3 x2 x 1) (xn 1 xn 2 1) (1). lim

x 1

n(n 1)

2

x 111x

lim (4). lim

x 0x 0xx(1 x)n 1 (1 x)n 2 1 x) n[x] (5). limx x

1[x]

当x >0，x-1< [ x] x, 从而 1 1

xx

[x] 1

而lim 1 1,lim1 1, lim 1 x x x x[x] x [x] 1 x

[x]1

当x <0，x-1< [ x] x, 从而1 1

xx[x] 1

而lim1 1,lim 1 1, lim 1 x x x xx

[x]

综上，lim 1

x x

9．(1). 证明：若limf(x3)存在，则limf(y) limf(x3) 1 2 3 n

x 0

y 0

x 0

(2). 若limf(x2)存在，问题是否成立，limf(x) limf(x2)

x 0

x 0

x 0

§ 3.3 习题

1．叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcosx不存在。

x

x

2．设f为定义在[a,+ )上的增(减)函数，证明：limf(x)存在的充要条件是f在[a,+

x

)上有上(下)界。

3．(1).叙述极限limf(x)的柯西准则

x

(2).根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件，并应用它证明limsinx不存

x

x

在。

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4．设f在 (x0)有定义，证明：若对任何{xn} (x0)，xn x0，极限limf(xn)都存

n

在。则所有这些极限都相等。

证：对 {xn} (x0)，{yn} (x0)，xn x0，yn x0，

令 zn：x1, y1, x2, y2,…, xn, yn

则{zn} (x0)，zn x0, 由假设，limf(zn)存在，设为A, 从而{ f(xn)}，{ f(yn)} 作

n

为{ f(zn)}的两个子列，必有limf(xn) limf(xn) A，由{yn}，{xn …… 此处隐藏：5771字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……