数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A

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3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切》 3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切》

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教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦 和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程， 和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程， 理解推导过程，掌握其应用. 理解推导过程，掌握其应用 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及 两角和、 两角和 运用； 运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活 两角和与差正弦、 两角和与差正弦 运用. 运用

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在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角α、β的三角函数值， 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起.

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在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),金太阳教育网 http://www.77cn.com.cn

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P1Q=M1M2=┃x1–x2┃,QP2=N1N2=┃y1–y2┃, 由勾股定理，可得2=Py

N2(0, y2) P1P2 1Q2+QP22 =┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2

=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内

M1(x1, 0)∟

P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式： P1P2= ( x1 x2 ) 2 + ( y1 y2 ) 2 .4

P1(x1, y1)

.

O∟

.∟ ∟

P2(x2, y2)

∟

M2(x2, 0)x

Q N1(0, y1)

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接下来，我们继续考虑如何运用两点间

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的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用 α、β的三角函数来表示的问题. 如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, P3 并作出角α、β和–β, 各点坐标： P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), P45

y

P2 β α+β α O –β

P1 x

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金太阳教育网 http://www.77cn.com.cn 各点坐标：P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)),

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由P1P3=P2P4及两点间距离公式，得 y 2+sin2(α+β) [cos(α+β)–1] P3 P2 =[cos(–β)–cosα]2 β α+β +[sin(–β)–sinα]2, αO

–β P4

P1 x

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[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) +[sin(–β)–sinα]2,

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=[cos(–β)–cosα]2

cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α + sin2α+2sinα sinβ+ sin2β, 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ, ∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ, (C(α+β))7

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cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ这个公式对于任意角α、

β都成立.

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(C(α+β))

例如 cos(62° +59°) cos59° sin62° =cos62° sin59°; – cos(113° +27°) cos27° sin113° sin27°; – =cos113° cos[α +(–β)] =cosα cos(–β) – sinα sin(–β),8

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cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ. cos[α +(–β)] =cosα cos(–β)

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(C(α+β)) – sinα sin(–β), (C(α–β))

cos(α –β) =cosα cosβ + sinα sinβ. 例如 cos(113° –27°) cos27° sin113° sin27°; + =cos113° cos(113° +27°) cos27° sin113° sin27°; + =cos113°9

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cos(α –β) =cosα cosβ + sinα sinβ.π cos( 2 –α) π π =cos 2 cosα + sin 2 sinα =sinα, π 即 cos( –α) =sinα, 2 π , 这里，等号两边的角的和为 2 cosα =sin(π –α), ∴ 2 (C(α–β))

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π 即 cos( –α) =sinα, 2 π , 这里，等号两边的角的和为 2 cosα =sin(π –α), ∴ 2 这就是说，诱导公式 π cos( 2 –α) =sinα, π –α)= cosα, sin( 2金太阳教育网 http://www.77cn.com.cn

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当α为任意角时仍然成立.11

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π http://www.77cn.com.cnsinα, sin(π –α)= 品质来自专业 信赖源于诚信 cos( 2 –α) = cosα, 2金太阳教育网

cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.运用上述公式，得 sin(α+β)= cos[ π –(α+β)] 2 =cos[( π –α)–β] 2 =cos( π –α)cosβ +sin(π –α)sinβ 2 2 =sinαcosβ +cosαsinβ, 即 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,12

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sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,

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在上式中用–β代替β,得

(S(α+β))

sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, 当 cos(α+β)≠0 tan (α+β)= 时，有 (S(α–β)) ,

sinαcosβ+cos αsinβ sin (α+β) αcosβ–sin αsinβ cos (α+β)

若 cos αcosβ≠0,得 tan (α+β)=

tan α+tanβ . 1–tan αtanβ

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品质来自专业 tan α+tanβ 信赖源于诚信 tan (α+β)= . 1–tan αtanβ (T(α+β)) sin(–β) –sinβ ∵ tan (–β)= cos(–β) = –tanβ, cosβ tan α–tanβ . ∴ tan (α–β)= 1+tan αtanβ (T(α–β)) 公式S(α+β)、 C(α+β)、 T(α+β)给出 了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、 余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之 间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式 都叫作和角公式 和角公式. 和角公式 金太阳教育网 http://www.77cn.com.cn14

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品质来自专业 tan α+tanβ 信赖源于诚信 tan (α+β)= . 1–tan αtanβ (T(α+β)) sin(–β) ∵ tan (–β)= cos(–β) = –tanβ, tan α–tanβ . ∴ tan (α–β)= 1+tan αtanβ (T(α–β)) 类似地，公式S(α–β)、 C(α–β)、 T(α–β)都叫作差角公式 差角公式. 差角公式 金太阳教育网 www.jty

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sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, (S(α+β)) sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, (S(α–β)) cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ, (C(α+β)) cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ, (C(α–β)) 等号右边“±”的记忆方式： 在锐角范围内，正弦函 …… 此处隐藏：2483字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……