同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.1

同济大学矩阵论课件

第四章内积空间岳晓青同济大学数学系 xiaoqingyue@http://www.77cn.com.cn

同济大学数学系

2009-3-22

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§4.1实内积空间定义：设V是一个实线性空间，R为实数域,若 α,β∈V,存在唯一的 r∈R与之对应，记作(α,β )= r,并且满足 (1) (α,β )= (β,α )对称性 (2) (kα,β )= k(α,β )线性性 (3) (α+β,γ )= (α,γ )+ (β,γ ) (4) (α,α )≥0, (α,α )= 0 α= 0实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间.非负性则称 (α,β )为α与β的内积，V为实内积空间.

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注： (5) (α, kβ )= k(α,β ), α,β∈V, k∈R (Ο,α )= (α,Ο )=Ο (6) (α,β+γ )= (α,β )+ (α,γ ), α,β,γ∈V证明：(5) (α, kβ )= (kβ,α )= k(β,α )= k(α,β ) (6) (α,β+γ )= (β+γ,α)= (β,α)+ (γ,α)= (α,β )+ (α,γ )这里A是取定的n阶实正定阵.

n中定义： α,β∈Rn, (α,β )=β T Aα,例：在线性空间R

a1 b1 ,β= , A= a T ( ij )n×n (β,α )=α Aβ,α= an bn 3

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4

a1n a1 (α,β )= ( b1, an 2 ann an a1 n n n = ∑ bi ai 1,,∑ bi ain =∑ bi a j aij i, j=1 i=1 i=1 an a1n b1 a11 a12 (β,α )= ( a1,, an ) a n1 a n 2 ann bn b1 n n n n = ∑ a j a j 1,,∑ a j a jn =∑ a j bi a ji=∑ bi a j aij j=1 i, j=1 j=1 b i, j=1 n ∴ (1) (α,β )= (β,α ) a11 , bn ) a n1 a12

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(2) (α,β )==

( kα,β )=∑ bi ( ka j ) aij= k∑ bi a j aij= k (α,β ) i, j=1 i, j=1 T (3)令γ= ( c1, c2,, cn ) n n n (α+β,γ )=∑ ci ( a j+ b j ) aij=∑ ci a j aij+∑ ci b j aijn

i, j=1 n

∑ba ai j

n

ij

= (α,γ )+ (β,γ ) T (4) (α,α )=α Aα≥ 0 (∵A为正定阵)如α≠ 0,则α T Aα> 0. T (α,β )=β Aα为Rn的内积. n特别如果取A=E有 (α,β )=β Tα=∑ ai bi这一内积，称5

i, j=1

i, j=1

i, j=1

为Rn的标准内积.Rn成为一个欧氏空间，仍用Rn表示.

i=1

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不同的正定矩阵可能得到不同的内积， Rn中有许多内积形式，以后将证Rn的内积都是 (其中A为正定阵)这种形式.

α,β )=β T Aα, (

例：闭区间[a,b]上实连续函数的全体C[a,b],关于函数的加法和数乘构成实数域 R上的线性空间，定义

f, g∈ C[ a, b],

易证满足内积定义的四条，从而C[a,b]在此内积下成为内积空间.(请大家自己验证)定义：设V是内积空间，非负实数 (α,α )称为向量α的长度，记为||α

( f, g )=∫a f ( x ) g ( x ) dxb

|| .

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定理：设V是实内积空间，则 α,

β∈V和k∈ R有下列不等式成立：正定性齐次性

(1)||α||≥ 0且||α||= 0 α= 0; (2)|| kα||=| k|||α||; Cauchy-Schwarz不等式 (3)| (α,β )|≤||α||||β||,| (α,β )|=||α||||β|| α,β线性相关.

(4)||α+β||≤||α||+||β||证明： (1)7

三角不等式

(α,α )≥ 0, (α,α )= 0 α= 0;||α (2)|| kα||= ( kα, kα )=| k| (α,α )=| k| ||

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0≤ (α+ tβ,α+ tβ )= (α,α )+ 2 t (α,β )+ t2

(3)如β=0等式显然成立.不妨设β≠0, t∈ R2

(β,β )

Δ= 4 (α,β ) 4 (α,α )(β,β )≤ 0 2 (α,β )≤ (α,α )(β,β ),∴| (α,β )|≤||α||||β|| .若等号成立,即Δ= 0.则方程 2 (α+ tβ,α+ tβ )= t (β,β )+ 2t (α,β )+ (α,α )= 0有两个相等的根，不妨设为t1,则 (α+ t1β,α+ t1β )= 0.由内积定义α+ t1β= 0,α= t1β,α与β线性相关. 2反之，若α= kβ,| (α,β )|=| k|||β||,8

为实变量t的一元二次不等式

||α||||β||=| k|||β|| .∴| (α,β )|=||α||||β|| .2

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(4)||α+β||= (α+β,α+β )= (α,α )+ 2 (α,β )+ (β,β )=||α|| 2+2 (α,β )+||β|| 22

由(3)可得:

≤||α||+2||α||||β||+||β|| 2= (||α||+||β|| )∴||α+β||≤||α||+||β|| .2

2

推论：是内积空间，则设V

α,β∈V有

||α|| -||β||≤||α β|| .证明：||α β||+||β||≥|| (α β )+β||=||α|| .9

∴||α|| -||β||≤||α β|| .

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注： 1.长度等于1的向量称为单位向量. 2.若向量α≠ O,则

α∴为单位向量，通常称为把向量α≠ O单位化.||α|| n例： 1.欧氏空间Rn的标准内积：

αα 1 (, )= (α, )= 1α 2||α||||α||||α||

α||α||

的长度=?

(α,β )=βbi2 .∑i=1 n

T

α=∑ ai bi .i=1

利用Cauchy-Schwarz不等式可以得到：

∑ ai bi≤i=110

n

ai2∑i=1

n

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2.内积空间C[a,b]的内积： f, g )= (利用Cauchy-Schwaz不等式可以得到：

∫ f ( x ) g ( x ) dx .b a

∫

b

a

f ( x ) g ( x )dx≤

∫

b

a

f ( x )dx

2

∫

b

a

g 2 ( x )dx .

注：利用Cauchy-Schwarz不等式

| (α,β )|≤||α||||β||可以得到： ||α||||β||≤ (α,β )≤||α||||β|| .从而有：| (α,β )| 1≤≤1 .||α||||β||| (α,β )|对比 R中的结论，可用 cosα,β=||α||||β||n

定义α与β在内积空间中的夹角α,β .11

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定义：设V是实内积空间，α,β∈V,若 (α,β )= 0,则称α与β正交，记作α⊥β .

由||α+β||2= (α+β,α+β )=||α||+2(α,β )+||β||知2 2

α与β正交 ||α+β||=||α||+||β|| .2 2 2

这就是实内积空间中的勾股定理.注：上

述勾股定理可推广到有限个向量的情形.若向量α1,α2,…,α m两两正交，即

(α i,α j )= 0, i= 1, 2,

, m, j= 1, 2,

, m.

12

||α 1+α 2++α m||2则有： 2 2 2=||α 1||+||α 2||++||α m|| .

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设α 1, 2,,α n是 n维实内积空间 V的一个基，α向量α与β在该基下的坐标为 x= ( x1, x 2, y= ( y1, y2,, yn )T,即

, x n )T,

(α,β )= ( x1α 1+ x 2α 2+n n

α= x1α 1+ x2α 2+β= y1α1+ y2α 2+

+ x nα n,+ ynα n .+ xnα n, y1α 1+ y2α 2+

+ ynα n )

=∑∑ xi y j (α i,α j ) i=1 j=1 (α 1,α 1 ) (α 1,α 2 ) (α 2,α 1 ) (α 2,α 2 )= ( x1, x 2,

, x n ) (α,α ) (α,α ) 2 n n 1

(α 1,α n ) y1 (α 2,α n ) y2 (α n,α n ) yn

13

= x T Ay= yT Ax .

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矩阵A称为V对于基α1,α2,…,α n的度量矩阵. (α 1,α 1 ) (α 1,α 2 ) (α 2,α 1 ) (α 2,α 2 ) A= (α,α ) (α,α ) n 2 n 1 (α 1,α n ) …… 此处隐藏：3174字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……