【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 课时分层作业3 充分条件与必

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精品K12教育教学资料 课时分层作业(三) 充分条件与必要条件 充要条件

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

A [∵A ＝{1，a }，

B ＝{1,2,3}，A ?B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ?B ”的充分不必要条件．]

2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )

【导学号：46342019】

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

D [当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．]

3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )

A ．m ＝－2

B ．m ＝2

C ．m ＝－1

D ．m ＝1 A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m 2＝1，即m ＝－2，且当m ＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]

4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

B [由题可知，p ??/q ??/

r ?s ，则p ?s ，s ?/p ，故s 是p 的必要不充分条件．]

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精品K12教育教学资料 5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )

A ．[－3,3]

B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D ．[－1,1]

D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1,4)

(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]

二、填空题

6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．

充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}

B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]

7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增的________条件．”

【导学号：46342020】

充分不必要 [当a >0时，y ＝a ? ????x ＋12a 2＋1－14a ，在? ??

??－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．

当a ＝0时，此时y ＝x ＋1, 在R 上单调递增，

因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．

综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]

8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．

[3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12

(m ＋3)， 由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}

??????????x ??? x <12(m ＋3)， 所以12

(m ＋3)≥3，解得m ≥3.] 三、解答题

9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围．

[解] 设q 、p 表示的范围为集合A 、B ，

则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)．

因q 是p 的充分条件，则有A ?B ，

即????? a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.

10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件.

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精品K12教育教学资料 【导学号：46342021】

[解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，

∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，

∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，

∴a n ＋1－a n ＝2为常数．

又a 1＝S 1＝4＋c ，

∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－C ．

∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2，

∴c ＝－1.

反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，

可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列，

∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.

[能力提升练]

1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( )

A ．a ≥b ＋1

B ．a >b －1

C ．a 2>b 2

D ．a 3>b 3

A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1?a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.5?/4≥3.5＋1，故a >b ?/a ≥b ＋1，故A 正确．]

2．一元二次方程ax 2

＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

( )

A ．a <0

B ．a >0

C ．a <－1

D ．a <1 C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a

<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C ．]

3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件.

【导学号：46342022】

充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2

.

∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0. 反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0?cos 〈m ，n 〉<0?〈m ，n 〉∈? ??

??π2，π， 当〈m ，n 〉∈? ??

??π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．]

精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．

(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，

f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，

所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .

又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，

所以2－t <－1，即t >3.]

5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.

[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，

显然，当n ＝1时，也成立．

因为p ≠0，且p ≠1，

所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)

＝p ， 即数列{a n }为等比数列，

必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p

n －1(p －1)．

因为p ≠0，且p ≠1， 所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)

＝p . 因为{a n }为等比数列，

所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q

＝p . 所以－p ＝pq ，即q ＝－1.

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