东北大学线性代数第三章第二节矩阵的秩

2 x1 2 x2 x3 x4 1 x1 2 x2 x3 x4 2 x x 2x x 3 2 3 4 1

线性代数讲义12/7/2013 9:00 PM

设计制作王新心

§3.2 矩阵的秩

(一)矩阵秩的概念 (二)矩阵秩的求法

12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

(一)矩阵秩的概念 给定一个 m n矩阵 A ,它的 由上节可知，标准形 Er F O O O

这个数就是 A 的行阶梯 是由数 r 完全确定的，称这个数是矩阵 A 的 形矩阵中非零行的行数， 秩。12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

任取 k 行与 【定义1】在m n 矩阵 A 中，k 列 ( k m , k n), 位于这些行列交叉处的 k 2 个

而 不改变它们在 A 中所处的位置次序， 元素， 称为矩阵 A 的 k 阶子式。 得的 k 阶行列式，k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个。

12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

【定义2】设在矩阵 A 中有一个不等于0 且所有 r 1 阶子式(若存在) 的 r 阶子式 D , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式 全等于0, 记作 R( A) 。 数 r 称为矩阵 A 的秩， 并规定零矩 的秩等于0。 当 由行列式的性质知， A 中的所有 r 1 阶 所有高于 r 1 阶的子式也全为0 子式全为0时， A 的秩 R( A) 就是 A 的非零子式的最高阶数。12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

由于 R( A) 是 A 的非零子式的最高阶数， 因此， 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为0,则 R( A) s ; 若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为0,则R( A) t 。

则 若 A 为 m n 矩阵， 0 R( A) min{m, n} 故 由于行列式与其转置行列式相等，R( AT ) R( A)12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

对于 n 阶行列式 A ,由于 A 的 n 阶子式 故当 A 0 时，R( A) n; 当 A 0 只有一个 A , 时，R( A) n 。即 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数 不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数 不可逆矩 因此， 可逆矩阵又称满秩矩阵； 阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

例1 求矩阵 A 和 B 的秩，其中 2 1 1 2 3 0 3 2 3 5 , B A 0 0 4 7 1 0 0 1 2 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0 3 0

解 在 A 中，A 2 3 5 04 7 1 1 2 1 0, 故 R( A) 2 。 二阶子式 2 312/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

其非零行有 由于 B 是一个行阶梯形矩阵，3行， B 的所有4阶子式全为0, 而以三个非零 即 行的第一个非零元为对角元的3阶行列式2 1 0 0 3 0 3 2 24 0 4

故 R( B ) 3 (即为非零行的行数)。12/

7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

(二)矩阵秩的求法 当行数与 由上例可知，对于一般的矩阵， 列数较高时， 按定义求秩是很麻烦的。 然而对于 行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。

因此自然想到用初等变换将矩阵化为行阶梯 下面讨论两个等价矩阵的秩是否相同。 形矩阵，

12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

【定理】若 A B , R( A) R( B) 则 证明 先证：若 A 经过一次行初等变换变

为 B ,有 R( A) R( B)且 设 R( A) r , A 的某个 r 阶子式 D 0 当 Ari rjB或 A

ri k

在 B 时， B 中总

有 能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1, D1 D , 或 故 或 D1 D, D1 kD, 因此 D1 0 , R( B ) r12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

当 A

ri krj

B 时，分三种情况讨论：

(1)D 中不含第 i 行(2)D 中同时含有第 i 行和第 j 行 (3)D 中含有第 i 行不含第 j 行B 对于(1)(2)两种情况， 中与 D 对应

的子式 D1 D 0 , R( B ) r 。 故

有 对于(3),12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

D1 ri kr j ri k rj D kD 因 若 D 0, D 中不含第 i 行， B 中有不含 知

故 第 i 行的 r 阶非零子式， R( B ) r 。 故 则 若 D 0, D1 D 0 , R( B ) r 。A 由此得到， 经过一次初等行变换变成 B ,

R( A) R( B )12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

由于 B 也可经过一次初等行变换变成 A , 故也有 R( B) R( A) 。因此 R( A) R( B) 。 矩阵的 以上证明了经过一次初等行变换， 由此可知， 经过有限次初等行变换， 秩不变， 矩 阵的秩仍不变。

则 设 A 经初等列变换变成 B , AT 经初等行由上面证明知， ( AT ) R( BT ), 又 R 变换变成 BT,R( AT ) R( A), R( BT ) R( B ), 故 R( A) R( B ) 。 证毕12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

由于A B的充分必要条件是存在可逆矩 阵 P ,Q , 使得 PAQ B 。 使 【推论】 若有可逆矩阵 P , Q , PAQ B则 R( A) R( B) 要求矩阵的秩， 由定理知， 可将矩阵用初

行阶梯形矩阵中 等行变换化成行阶梯形矩阵， 即为该矩阵的秩。 非零行的行数，12/7/2013 9:00 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

例1

3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 , 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4

求矩阵 A 的秩， 并求 A 的一个最高阶非零子式 解 先求矩阵 A 的秩，对 A 进行初等行变

将其化成行阶梯形矩阵。 换，12/7/2013 9:00 PM