高2020届高2017级高三一轮复习理科数学数学核按钮考点突破(教师

8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用

1.空间向量基本定理

如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组____________,使得__________________.其中,{a ,b ,c }叫做空间的一个________,a ,b ,c 都叫做__________.

2.空间直角坐标系

(1)如果空间的一个基底的三个基向量____________,且长都为______,则这个基底叫做单位正交基底,常用{i ,j ,k }来表示(其中|i |＝|j |＝|k |＝1).

(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ,以O 为原点,分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条数轴：__________________________,它们都叫做坐标轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,点O 叫做原点,向量i ,j ,k 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.

(3)建系时,一般使∠xOy ＝135°(或45°), ∠yOz ＝90°,建立____手直角坐标系.

(4)在空间直角坐标系中有一点A ,若OA →

＝x i ＋y j ＋z k ,则有序实数组____________叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标,记作______________.其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的________.

3.空间向量的直角坐标运算

设a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2),a ,b 是非零向量,则 (1)向量加法：a ＋b ＝__________________. (2)向量减法：a －b ＝__________________. (3)数乘：λa ＝________________. (4)数量积：a ·b ＝________________.

(5)平行：a ∥b (b ≠0)?_________?x 1＝λx 2,________,__________.

(6)垂直：a ⊥b ?__________?__________________.

(7)向量a 的模||a ＝__________＝______________.

(8)向量a 与b 夹角公式：

cos ＜a ,b ＞＝a ·b

|a ||b |

＝______________.

(9)点坐标和向量坐标：若点A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2),则AB →

＝____________________,线

段

AB

的长度

d AB ＝

||AB

→＝

________________________.

4.直线的方向向量

(1)与直线l________的非零向量a 叫做直线l 的方向向量.

(2)空间中任意一条直线l ,可以通过l 上的一个定点A 和l 的一个方向向量a 来确定.设点P 是l 上的任意一点,则l 有向量表示形式____________,其中t 为实数,这种形式叫做直线的点向式.注意同一条直线的点向式表示不唯一.

5.平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量

已知平面α,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,则________叫做平面α的法向量.

(2)平面的法向量的求法

①设出平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )；

②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)；

③根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组______________；

④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有______个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

6.利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角

设直线l ,m 的方向向量为a ,b ,平面α,β的法向量分别为u ,v ,则

(1)线线平行：l ∥m ?____________?____________.

(2)线线垂直：l ⊥m ?____________?____________.

(3)线面平行：l ∥α?____________?____________.

(4)线面垂直,方法一：l ⊥α?__________?__________；

方法二：若e 1,e 2为平面α的一组基底,则

l ⊥α??????a ⊥e 1，a ⊥e 2

?a ·e 1＝a ·e 2＝0.

(5)面面平行：α∥β?____________?

____________.

(6)面面垂直：α⊥β?____________?____________.

(7)线线夹角：l ,m 的夹角为θ????0≤θ≤π

2, cos θ＝______________.

(8)线面夹角：l ,α的夹角为θ????0≤θ≤π

2, sin θ＝______________.

(9)面面夹角：α,β的夹角为θ????0≤θ≤π

2, cos θ＝______________.

注意：(1)这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的,即0≤θ≤π

2,而二面角的大小是指两个半平

面的张开程度,这可以用其平面角θ的大小来定义,它的取值范围为____________,若设u ,v 的夹角为φ,当u ,v 均指向二面角内部或外部时(如图1),二面角的大小为θ＝π－φ,cos θ＝cos(π－φ)＝－cos φ＝－u ·v

||u ||

v ；当u ,v 一个指向二面角内,另一个指向二面角外时(如图2),二面角的大小为θ＝φ,cos θ＝cos φ＝u ·v

||u ||

v .

7.距离

(1)点到直线的距离

设过点P 的直线l 的方向向量为单位向量n ,A 为直线l 外一点,点A 到直线l 的距离d ＝______________(如图3).

图3 图4

(2)点到平面的距离

设P 为平面α内的一点,n 为平面α的法向量,A 为平面α外一点,点A 到平面α的距离d ＝____________ (如图4).

(3)线面距离、面面距离都可以转化为______________.

自查自纠：

1.{}x ，y ，z p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 基向量

2.(1)两两垂直 1 (2)x 轴,y 轴,z 轴 (3)右 (4)(x ,y ,z ) A (x ,y ,z ) 竖坐标

3.(1)(x 1＋x 2,y 1＋y 2,z 1＋z 2) (2)(x 1－x 2,y 1－y 2,z 1－z 2)

(3)(λx 1,λy 1,λz 1) (4)x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2 (5)a ＝λb y 1＝λy 2 z 1＝λz 2 (6)a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0

(7)a ·a x 21＋y 21＋z 21

(8)x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2

x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22

(9)(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)

（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2 4.(1)平行且非零 (2)AP →

＝t a

5.(1)向量a (2)?

????n ·a ＝a 1x ＋b 1y ＋c 1z ＝0，n ·b ＝a 2x ＋b 2y ＋c 2z ＝0 无数

6.(1)a ∥b a ＝k b ,k ∈R (2)a ⊥b a ·b ＝0

(3)a ⊥u a ·u ＝0 (4)a ∥u a ＝k u ,k ∈R (5)u ∥v u ＝k v ,k ∈R (6)u ⊥v u ·v ＝0

(7)||a ·b ||a ||b (8)||a ·

u ||a ||u (9)||u ·v ||u ||v 0≤θ

≤π 7.(1)

||P A →2

_||P A →·n

2

(2)||P A →

·n ||

n

(3)点到面的距离

(2017枣阳市第一中学月考)已知平面α,β的

法向量分别为n 1＝(2,3,5),n 2＝(－3,1, －4),则 ( )

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直

D.以上均不对

解：因为n 1≠λn 2,且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×

1＋5×(－4)＝－23≠0,所以α,β不平行,也不垂直.故选C.

已知AB →＝(2,2,1),AC →

＝(4,5,3),则平面ABC

的单位法向量为 ( )

A.(13,－23,23)

B.(－13,23,－23

)

C.(13,－23,23)或(－13,23,－23)

D.(23,13,－23

) 解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ,y ,z ), 则?????AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，即?????2x ＋2y ＋z ＝0 …… 此处隐藏：23310字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……