2.2函数解析的充要条件

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第二节函数解析的充要条件一、主要定理

第二章

二、典型例题

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一、主要定理定理一 设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微, 并且在该 点满足柯西-黎曼方程 u v u v , . x y y x 此时， f ( z ) u i v 1 u v . x x i y y

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证

(1) 必要性.

设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 且 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导,则对于充分小的 z x i y 0,

有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,

其中 lim ( z ) 0, z 0

令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,

f ( z ) a ib,

( z ) 1 i 2 ,

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所以 u i v (a ib ) ( x i y ) ( 1 i 2 ) ( x i y )

(a x b y 1 x 2 y ) i (b x a y 2 x 1 y )于是 u a x b y 1 x 2 y ,

v b x a y 2 x 1 y .

因为 lim ( z ) 0, 所以 lim 1 lim 2 0, z 0 x 0 y 0

x 0 y 0

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由此可知 u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微, u v u v 且满足方程 , . x y y x

(2) 充分性.

由于

f ( z z ) f ( z ) u( x x , y y ) u( x , y ) i[v ( x x , y y ) v ( x , y )]

u i v ,又因为 u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微,

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u u 于是 u x y 1 x 2 y , x y v v v x y 3 x 4 y , x y

其中 lim k 0, x 0 y 0

( k 1,2,3,4)

因此 f ( z z ) f ( z ) u v u v i x i y ( 1 i 3 ) x ( 2 i 4 ) y . y x x y盐城工学院基础部应用数学课程组

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u v u v 2 v 由柯西-黎曼方程 , i , x y y x x

f ( z z ) f ( z )

u v i ( x i y ) ( 1 i 3 ) x ( 2 i 4 ) y . x x f ( z z )

f ( z ) z x y u v i ( 1 i 3 ) ( 2 i 4 ) . z z x x盐城工学院基础部应用数学课程组目录 上页 下页 返回 结束

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x 因为 1, z

y 1, z x y lim ( 1 i 3 ) ( 2 i 4 ) 0, z 0 z z f ( z z ) f ( z ) u v 所以 f ( z ) lim i . z 0 z x x

即函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x yi 可导.

说明： f ( z ) u i v 1 u v . x x i y y盐城工学院基础部应用数学课程组

[证毕]

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定理二 定理二

函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义

域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西-黎曼方程.

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解析函数的判定方法:(1)用定义； (2)用充要条件.

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二、典型例题例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).

解 (1) w z ,

u x, v y,

u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y

不满足柯西-黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.盐城工学院基础部应用数学课程组目录 上页 下页 返回 结束

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( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ) 指数函数 u e x cos y , v e x sin y , u u x e cos y , e x sin y , x y 四个偏导数 v v 均连续 x e sin y , e x cos y , x y u v u v 即 , . x y y x

故 f ( z ) 在复平面内处处可导 处处解析. ,

( z ) e x (cos y i sin y) f ( z ). 且f盐城工学院基础部应用数学课程组目录 上页 下页 返回 结束

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( 3) w z Re( z ) x xyi ,2

u x , v xy ,2

u u v v 2 x, 0, y, x. x y x y

四个偏导数均连续仅当 x y 0 时, 满足柯西-黎曼方程, 故函数 w z Re( z ) 仅在 z 0 处可导,

在复平面内处处不解析 .

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例2 设 f ( z ) x axy by i (cx dxy y ), 问常数 a , b, c , d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处2 2 2 2

解析? u 解 u 2 x ay , ax 2by , y x v v dx 2 y , 2cx dy , y x u v u v 欲使 , , x y y x 2 x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,

所求 a 2, b 1, c 1, d 2.盐城工学院基础部应用数学课程组目录 上页 下页 返回 结束

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例3 设 f ( z )

u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域 D 内解析, 并且 v u2 , 求 f ( z ). 解 u v 2 u u , (1) x y y u v u 2u , ( 2) y x x u 将(2)代入(1)得 (4u 2 1) 0, x u 2 由 (4u 1) 0 0, x u 由(2)得 0, 所以 u c (常数), y 于是 f ( z ) c ic 2 (常数).盐城工学院基础部应用数学课程组目录 上页 下页 返回 结束

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例4 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在

区域 D 内为一常数.证 u v v u f ( z ) i i 0, x x y y u v u v 故 0, x y y x

所以 u 常数, v 常数,因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.盐城工学院基础部应用数学课程组

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