椭圆的定义教学设计

教案

椭圆及其标准方程

一、教材的地位和作用

本节课是普通高中课程标准试验教科书选修第二章《圆锥曲线与方程》中《椭圆》的第一节内容，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备，起到一个承上启下的重要作用。

二、教学目标

知识与技能：理解椭圆的定义及有关概念；掌握椭圆的标

准方程推导及程。

过程与方法：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；

注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，熟练掌握解决解析几何问题的方法——解析法.

情感、态度与价值观：鼓励学生积极、主动的参与教学的

整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答；体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程。 难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以

限制的原因。

四、教学方法

自主探究法，即“创设问题——启发讨论——探索结果”

教案

及“直接观察——归纳抽象——总结规律”的教学方法。通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。

五、学法

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。 六、本课的教学准备

一个PowerPoint课件，一个几何画板课件，画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）。 七、教学程序

教案

前面我们学习了曲线 明示这节课所 一、 求曲线 同学们， 的方程的概念， 什么叫做曲线 复 方程的 的方程？求曲线方程有那些 要学的内容与 方法？ 习 方法 原来所学知识 铺 垫 之间的内在联 系， 并为后面椭 圆的标准方程 的推导及用待 定系数法求 椭圆方程作好 准备。 1. 二， 给出椭圆的一些实物图

片：天体运行图、汽车油罐 、 的横截面…… 椭圆的 这是实际生活中图形，如 何用现有的工具画出图形？ 教师与学生一起找出上述问 题的解决方案， 并一同用给的 过实物， 吸引学 工具画

出图形， 与上述图形相 生的注意力， 提 似——椭圆。 问：哪些量是固定的、不 高参与程度。 变的？哪些量是变化的？ [学生讨论、作答] 问：椭圆如何定义？ [学生讨论、作答] 3.归纳，形成概念 定义：到平面内两个定点3

创 设 情 境

定义

教案

F1 、F2 的距离之和等于常数 注 重 概 念 形 成 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫 过程， 通过让学 做椭圆。 定点 F1、F2 称为椭圆的焦点。 生亲自动手， 培 F1 、F2 间的距离|F1F2|称为焦 养学生的观察、 距。 问：为什么常数要大于 归 纳 、 概 括 能 |F1F2|? 力。 不大于会如何？ (学生继续分组讨论， 请出代 表说讨论的结果) 进一步强化椭 圆定义， 真正使 学生理解定义 的内涵和外延。 三 、 4.椭圆的标准方程的推导 (1)如何选取坐标系？ 学会建立适当 方案 1 以两定 的坐标系， 构造 F F 点的 数与形的桥梁， 连线 渗透数形结合 为 X 轴， 其垂直平分 的数学思想。 椭圆的 线为 Y 轴P1 2

引

导

标准方 程 方案2以两定点 的连线为Y轴， 其垂直平分线 为X轴yF2 P

探

xF1

教案

究

体验方程推导 的全过程， 数形 (2)推导方程 结合思想， 用代 以过 F1、2 的直线为 X 轴， F 线段 F1F2 的垂直平分线为 Y 数 方 法 解 决 几 轴，建立平面直角坐标系。 何问题的思想 设 P(x,y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距│F1F2│为 2c 和方法。 (c>0) 、正常数为 2 a ,则 F1 老师演示化简 (-c,0) 2(c,0) 、F 根据椭圆的定义可得：│PF1 过 程 来 突 破 难 │+│PF2│=2 a 点。 [学生完成填空] 反馈学生的掌 ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a [化简过程老师带着学生一起 握情况， 并以此 完成] 2 2 训练学生的运 化简得 x y 1 算能力， 活学活 设 a 2 c 2 b 2 (a c 0) , (为什么要取平方？) 用能力。 [学生思考，问题由老师来回 通过对比总结， 答]x 方程简化为： 2 a2

a2

a2 c2

y2 1 (a b 0) b2

强化不同类型

(3) 若以方案 3 建立坐标系， 的方程的异同， 则椭圆的焦点在 y 轴上。 (学 生们自己写出 F1、F2 的坐标， 从 而 深 化 学 生 以及列出方程， 推导出与上面 对 椭 圆 标 准 方 类似的结果) 程的理解。 y2 x2a2 b2 1(a b 0)

2.两种类型的椭圆方程的比 较：5

教案

让学生讨论， 归纳出这两种形 式的标准方程有何异同 四|、 【例 1】判断焦点的位置并求 掌 握 两 种 类 型 其坐标：x2 y2 (1) 1 9 6 y2 x2 (2) 1 7 4

的椭圆方程的 异同和根据标 准方程判断焦 点位置的方法。 掌握待定系数 法在求椭圆标 准方程中的应 用，深化a、b、 c 的关系。 学生能独立完 成此例。 充分让 学生动手、

动 脑。及时反馈， 强化知识点的

应 用 举 例

椭圆定 义与标 准方程 的简单 应用

(3) 3x

2

4y 52

【例2】求适合下列条件的椭 圆的标准方程： (1)已知椭圆的焦点坐标是 F1(-3,0) 、 F2(3,0) ,

椭圆上任一点到F1 、F2的距离 之和为8, 求椭圆的标准方程。 (2)两个焦点的坐标分别是 (0,-2) (0,2) 、 ,并且椭3 5 圆经过点(￣ 2 , 2 ) 。

(分析后多媒体显示过程) =4,且经过 A 2 , 标准方程。

【例 3】求焦点在 x 轴上，a 学习。3

的椭圆的

(学生独立完成， 一生在黑板 进 一 步 强 化 椭 上板演) 圆的概念

教案

例 4.已知 B、C 是两个定点， |BC|=8,且 ABC 的周长等于 18, 求这个三角形的顶点 A 的 轨迹方程 六、 深化椭 1.椭圆的概念 2.两种类型的椭圆的标准方 归 圆的概 程的比较。 纳 小 结 念与标 准方程 通过小结， 使学 生理清这节课 的重难点。