含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

1

,x 1

例1（2008年高考广东卷（理科） 设k

R，函数f(x) 1 x,F(x) f(x) kx,x R，

x 1

试讨论函数F(x)的单调性。

1 k 1 x 2

,x 1 12

kx,x 1,

1 x 解：F(x) f(x) kx 1 x。 ,F'(x) kx,x 1 x 1

考虑导函数F'(x) 0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

（一）若x 1，则F'(x)

1 k 1 x

2

1 x

2

。由于当k 0时，F'(x) 0无实根，而当k 0时，F'(x) 0有实根，

因此，对参数k分k 0和k 0两种情况讨论。

（1） 当k 0时，F'(x) 0在( ,1)上恒成立，所以函数F(x)在( ,1)上为增函数；

（2） 当k 0时，F'(x)

1 k 1 x

2

1 x

2

1 x由F'(x)

0，得x1 1

,x 1 2 ，因为k 0，所以x1 1 x2。

由F'(x)

0，得1

x 1；由F'(x)

0，得x 1 上为减函数，在(1 上为增函数。 因此，当k 0时，函数F(x

)在( ,1

（二）若x

1，则F'(x) 。由于当k 0时，F'(x) 0无实根，而当k 0时，F'(x) 0有实

根，因此，对参数k分k 0和k 0两种情况讨论。

（1） 当k 0时，F'(x) 0在 1, 上恒成立，所以函数F(x)在 1, 上为减函数；

含参数导数问题的三个基本讨论点

1 k

（2） 当k

0时，F'(x) 由F'(x) 0，得x 1

11

1 x 1 ；由，得。 F'(x) 0

4k24k2

因此，当k 0时，函数F(x)在 1,1 综上所述：

（1） 当k 0时，函数F(x

)在( ,1

1 1

上为减函数，在1 , 上为增函数。 22 4k 4k

上为减函数，在(1上为增函数，在 1, 上为减函数。 （2） 当k 0时，函数F(x)在( ,1)上为增函数，在 1, 上为减函数。 （3） 当k 0时，函数F(x)在( ,1)上为增函数，在 1,1

1 1

上为减函数，在 1 , 上为增函数。2 4k2 4k

二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，

从而引起讨论。 例2 (2008高考浙江卷理科)已知a是实数，函数f

x （Ⅰ）求函数f x 的单调区间；

（Ⅱ）设g a 为f x 在区间 0,2 上的最小值。

（i）写出g a 的表达式；（ii）求a的取值范围，使得 6 g a 2。

x a

a

3 x

a'

解：（Ⅰ）函数的定义域为 0, ，f

x x 0 ，由f'(x) 0得x 。

3考虑

a

是否落在导函数f'(x)的定义域 0, 内，需对参数a的取值分a 0及a 0两种情况进行讨论。 3

'

（1） 当a 0时，则f(x) 0在 0, 上恒成立，所以f x 的单调递增区间为 0, 。

'

（2） 当a 0时，由f(x) 0，得x

aa'

；由f(x) 0，得0 x 。 33

因此，当a 0时，f x 的单调递减区间为 0, ，f x 的单调递增区间为 , 。

33

（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1） 当a 0时，f x 在 0, 上单调递增，从而f x 在 0,2 上单调递增，所以g a f 0 0。 （2） 当a 0时，f x 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，所以：

33

a

a

a a

含参数导数问题的三个基本讨论点

① 当

a a a

0,2 ，即0 a 6时，f x 在 0, 上单调递减，在 ,2 上单调递增， 3 3 3

所以g

a f ② 当

2aa a

。 9 3

a

2, ，即a 6时，f x 在 0,2 上单调递减，所以g a f

2 2 a 。 3

0,a 0

g

a a 6

综上所述， 2 a ,a ~6（ii）令 6 g a 2。 ①若a 0，无解； ②若0 a

6，由 6 ③ 若a

6，由 6

2解得3 a 6； 2 a

2解得6 a 2

综上所述，a

的取值范围为3 a 2

三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不

知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

2ax a2 1

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数f x x R ，其中a R。 2

x 1

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f x 在点2,f 2 处的切线方程； （Ⅱ）当a 0时，求函数f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当a 1时，曲线y f x 在点2,f 2 处的切线方程为6x 25y 32 0。

1

2ax ax 2a x 1 2x 2ax a 1 a '

（Ⅱ）由于a 0，所以f x 。 2222

x 1 x 1

2

2

由f

'

1

x ,x2 a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的，得x 0 1

a

取值分a 0和a 0两种情况进行讨论。

（1） 当a 0时，则x1 x2。易得f x 在区间 ,

1 1 ，内为减函数，在区间a, ,a 为增函数。故a a

函数f x 在x1

1 1 2

处取得极小值f a；函数f x 在x2 a处取得极大值f a 1。 a a

含参数导数问题的三个基本讨论点

（2） 当a 0时，则x1 x2。易得f x 在区间( ,a)，( 数f x 在x1

11

, )内为增函数，在区间(a, )为减函数。故函

aa

1 1

处取得极小值f a2；函数f x 在x2 a处取得极大值f a 1。 a a

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参

数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

例4（07高考山东理科卷改编）设函数f x x2 bln x 1 ，其中b 0，求函数f x 的极值点。

b2x2 2x b 解：由题意可得f x 的定义域为 1, ，f x 2x ，f' x 的分母x 1在定义域 1, x 1x 1

'

上恒为正，方程2x 2x b 0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。

2

48 b0，（1）当 即b

1122

时，方程2x 2x b 0无实根或只有唯一根x ，所以g x 2x 2x b 0 22

在 1, 上恒成立，则f' x 0在 1, 上恒成立，所以函数f x 在 1, 上单调递增，从而函数f x 在

1, 上无极值点。

（2）当 4 8b 0，即b

12'

时，方程2x 2x b 0，即f x 0有两个不相等的实根：

2

x1

x2

这两个根是否都在定义域 1, 内呢？又需要对参数b的取值分情况 …… 此处隐藏：8186字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……