第七章 拉普拉斯变换

《复变函数与积分变换》第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 解析函数的级数表示第五章 留数及其应用第六章 傅里叶变换第七章 拉普拉斯变换

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复变函数与积分变换主讲： 主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月

《复变函数与积分变换》第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 解析函数的级数表示第五章 留数及其应用第六章 傅里叶变换第七章 拉普拉斯变换

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

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复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

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第七章

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换

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第七章

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换

7.1 拉普拉斯变换的概念 7.2 拉氏变换的性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉氏变换的应用及综合举例 本章小结 思考题

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第一节1.拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换的概念+∞

定义1:设函数f (t )当t > 0时有定义，而积分∫

0

f (t )e st dt,(s为一个复参量)

在s某一域内收敛，则称F ( s) = ∫记为：F ( s) = L[ f (t )].

+∞

0

f (t )e st dt为函数f (t )的拉普拉斯变换式，

F ( s)称为函数f (t )的拉氏变换，f (t )称为函数F ( s)的拉氏逆变换，记为：f (t ) = L[ F 1 (t )].

函数f (t ), ≥ 0)的拉氏变换就是f (t )u (t )e β t, > 0)的傅氏变换. (t (β

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1, t > 0 0, t < 0 求单位阶跃函数u (t ) = ,符号函数 sgn t = 0, | t |= 0, 例1. 1, t > 0 1, t < 0

f (t ) = 1的拉氏变换.+∞ st 0

解： (1) L[u (t )] = ∫

1 e dt = e st s

+∞ 0

1 = , Re( s ) > 0 s

1 即：L[u (t )] = , Re( s ) > 0; s

1/s的拉氏逆 变换为哪 个？??+∞ 0

1 (2) L[sgn t ] = ∫ (sgn t )e dt = ∫ e st dt = e st 0 0 s 1 即：L[sgn t ] = , Re( s ) > 0; s +∞ 1 1 +∞ (3) L[1] = ∫ e st dt = e st 0 = , Re( s ) > 0 0 s s st

+∞

+∞

1 = , Re( s ) > 0 s

1 即：L[1] = , Re( s ) > 0. s2010-8-23 7

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一般规定：在拉氏变换中f (t )均理解为：f (t ) = 0,t < 0.1 即写下f (t ) = sin t时，理解为f (t ) = u (t )sin t,象函数F ( s) = , s) > 0 Re( s 1 的象原函数可写为f (t ) = 1, 即：L1[ ] = 1. s

. 例2.求指数函数f (t ) = ekt的拉氏变换(k为实数)

解： L[ f (t )] = ∫ ekt e st dt = ∫ e( s k )t dt0 0

+∞

+∞

=

1 ( sk ) e sk

+∞ 0

=

1 , sk

R(s k ) > 0

即：L[e kt ] =

1 , (Re( s ) > k ). sk

由上式可得：L[e kt ] = 1 1 , (Re( s ) > k ), L[e jωt ] = , (Re( s ) > 0). s+k s jω8

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2.拉氏变换的存在定理 定理1:(拉氏变换的存在

定理) 若函数f (t )满足下列条件：

(1)在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续；(2)当t → +∞时，f (t )的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M > 0及c ≥ 0,使得 f (t ) ≤ Mect,≤ t < +∞成立. 0

则函数f (t )的拉氏变换F ( s) = ∫

+∞

0

f (t )e st dt在半平面 Re( s) > c上

一定存在，且为解析函数. 说明： (1)这个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见 的函数大都能满足这个条件， (2)一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相 比要弱的多.2010-8-23 9

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求正弦函数f (t ) = sin kt,k为实数的拉氏变换. 例3.

解： sin kt < e 因为

0t

, M = 1, c = 0,

所以满足拉氏变换存在定理中的条件， L[sin kt ] = ∫ sin kte st dt0 +∞

e st = 2 [ sin kt k cos kt ] 2 s +k同理可以得到： [cos kt ] = Ls . 2 2 s +k

+∞ 0

=

k s2 + k 2

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3.Γ函数介绍形如∫ e t t m1dt, > 0)的函数称为珈玛函数，记为Γ(m),即 (m0 +∞

Γ(m) = ∫ et t m1dt.0

+∞

Γ函数性质： Γ (m + 1) = mΓ(m), 特别当m为正整数时，Γ(m + 1) = m !1 +∞ +∞ 1 π t 2 u2 Γ( ) = ∫ e t dt = 2 ∫ e du, (t = u 2 , dt = 2udu ) = 2 = π. 0 0 2 2

例4.求幂函数f (t ) = tm +∞ 0

m

, (m > 0)的拉氏变换.+∞

解：L[t ] = ∫ e st t m dt → Γ(m) = ∫0 et t m1dt ,=∫ e0 +∞ st

1 ( st ) m d ( st ) = m +1 m s s s

∫

+∞

0

t m e t dt

=2010-8-23

Γ(m + 1) , (m > 1, Re( s ) > 0). m +1 s11

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