9.圆锥曲线中探索性问题答题模板

考情分析圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以 解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题。解决这 类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”,也可先用 特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明。考查的知识 点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查 学生的分析问题与解决综合问题的能力。

“大题规范解答———得全分”系列之(九)圆锥曲线中探索性问题答题模板[教你快速规范审题]x2 如图，椭圆E: 2 a y2

[教你准确规范解题]

[教你一个万能模版]

【典例】(2012福建高考 · 满分13分)

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

[教你快速规范审题]【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(1)问 【审题规范】第1步：审条件，挖解题信息

观察条件：椭圆定义及 离心率公式

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[教你快速规范审题]【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(1)问 【审题规范】第2步：审结论，明解题方向

观察所求结论：求椭圆方程

需建立关于 、b、c的方程组求解 a

[教你快速规范审题]【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ

为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(1)问 【审题规范】第3步：建联系，找解题突破口

由条件可得c 4a 8, a 1 2

a 2 b2 c 2

可得a 2, b2 3

x2 y 2 1 代入 得E的方程 椭圆方程 4 3

[教你快速规范审题流程汇总]第(1)问 【审题规范】第1步：审条件，挖解题信息

观察条件：椭圆定义及 离心率公式

第(1)问 【审题规范】第2步：审结论，明解题方向

观察所求结论： 求椭圆方程

需建立关于 、b、c的方程组求解 a

第(1)问 【审题规范】第3步：建联系，找解题突破口

由条件可得c 4a 8, a 1 2

a b c2 2

2

可得a 2, b2 3

代入 椭圆方程

得E的方程 x2 y 2 1 4 3

【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

[教你快速规范审题]

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(2)问 【审题规范】第1步：审条件，挖解题信息

观察 条件

直线l与椭圆E相切于点P, 与直线x 4相交于点Q

联立方程 消元

得判别式 0 及P、Q的坐标

[教你快速规范审题]【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(2)问 【审题规范】第2步：审结论，明解题方向

观察所 证结论

探索是否存在点 ，使得以 假设M存在 MP MQ 0 M 问题转化为 恒成立 PQ为直径的圆恒过点 M

【典例】(2012福建高考 · 满分13分)x2 如图，椭圆E: 2 a y2

[教你快速规范审题]

b 2 1(a>b>0)的左焦点为F1,1

离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B 右焦点为F2, 2 两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的 圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。第(2)问 【审题规范】第3步：建联系，找解题突破口

由条件分析M的位置并 设出它的坐标( 1 ,0) x对任意m、 k恒成立

写出 MP MQ , 的坐标代入等式 MP MQ 0

得到关于参数m、k、x1的方程

得关于x1 的方程组

判断是否有解

结论

[教你快速规范审题流程汇总]第(2)问 【审题规范】第1步：审条件，挖解题信息

观察 条件

直线l与椭圆E相切于点P, 与直线x 4相交于点Q

联立方程消元

得判别式 0 及P、Q的坐标

第(2)问 【审题规范】第2步：审结论，明解题方向

观察所 证结论

探索是否存在点 ，使得以 假设M存在 MP MQ 0 M 问题转化为 恒成立 PQ为直径的圆恒过点 M

第(2)问 【审题规范】第3步：建联系，找解题突破口

由条件分析M的位置并 设出它的坐标( 1 ,0) x对任意m、 k恒成立

写出 ， 的坐标 MP MQ代入等式 MP MQ 0

得到关于参数m、k、x1的方程

得关于x1 的方程组

判断是否有解

结论

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[教你准确规范解题](1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 解： 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以4a=8,a=2.c 又因为e 1 ,即 a 1 , 所以c 1 2 2

……………… 2分

易忽视定义的应用……………… 4分

所以b a2 c2 3

故椭圆E的方程是 x2 4

y2 3

1

y kx m 2 由 x 2 y 2 消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 4 3 1 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.

………… 5分

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0, (*)………… 7分 返回

[教你准确规范解题]此时x0 x 4 由 y kx m4km 4k 2 3

4k m

3 y0 kx0 m m

3 所以P 4k , m m

……… 9分 得Q(4,4k+m).

忽视圆的对称性，判 断不出M必在x轴上