第6章无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法

来源：网络收集时间：2026-08-27

导读：数字信号处理第6章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法第6章无限长单位冲激响应(IIR) 数字滤波器的设计方法6.1 引言6.2 IIR滤波器设计的特点  6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法6.4 冲激响应不变法器 6.5 双线性变换法 6.6 设计IIR滤波器的频

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第6章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法

第6章无限长单位冲激响应(IIR) 数字滤波器的设计方法6.1 引言6.2 IIR滤波器设计的特点 

6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法6.4 冲激响应不变法器 6.5 双线性变换法 6.6 设计IIR滤波器的频率变换法 6.7 Z平面变换法

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6.1 引6.1.1 选频滤波器的分类

言

数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。

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由第1章1.3节已经知道，一个输入序列x(n),通过一个单位冲激响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为

y (n ) x(n ) h(n )

h( m) x ( n m)

将上式两边经过傅里叶变换，可得

Y (e j ) X (e j ) H (e j )式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H(ejω)是系统的频率响应函数。

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可以看出，输入序列的频谱 X(ejω) 经过滤波后，变为 X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω),使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤

波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想

模式如图6-1所示。(系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)

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第6章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法H (e j )(a) 低通

-2

2 高通

H (e j )(b)

-2

2 带通

H (e j )(c)

-2

2 带阻

H (e j )(d )

-2

图 6-1 数字滤波器的理想幅频特性

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满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于 |ω|<π的范围。由图6-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωc<ω≤π范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc的低频分量。

带

通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。

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6.1.2 滤波器的技术指标理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的，其单位冲激响

应从-∞延伸到+∞, 因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。 

一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图6-2(称容限图)所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围(而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围)。图中α1为通带的容限， α2为阻带的容限。

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H (e j )

1-α1

通带

过渡带

阻带

α2o ωc ωst π ω

图 6-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图

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在通带内，幅度响应以最大误差±α 1逼近于1,即

1 α1 | H ( e jω ) | 1 α1

|ω|≤ωc

在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即

| H ( e jω ) | α2

ωst≤|ω|≤π

式中，ωc, ωst分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带(ωst ωc)中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。 

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虽然给出了通带的容限α1及阻带的容限α2,但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减(波纹)δ1 和阻带应达到的最小衰减δ2描述， δ1及δ2的定义分别为：

(6-2b)

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6.1.3 DF频率特性它是由三个参量来表征： 1.幅度平方响应 2.相位响应 3.群延时

滤波器H ( e ) H ( e ) ejω jω

j arg H ( e jω )

通常DF的设计指标由幅频特性、相频特性决定，它又等效由 H ( e jω )、群时延τ( e jω )决定。

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1.幅度平方响应

H ( e ) H ( e jω )H*( e jω )jω

H ( e jω )H ( e jω ) H ( z )H ( z 1 ) z e jω 当只需要逼近幅度而不管相位时，就可根据幅度平方响应来进行设计。

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的设计方法

H( e

jω

) H( e

2.相位响应 jω j arg H ( e ))ejω

Re[ H ( e jω ) j Im H ( e jω )] β ( e jω Im H ( e jω ) tan 1 Re H ( e jω * jω

) 1 H ( e jω ) jω ) j H( e ) j β ( e jω )

又 H ( e β ( e jω

) H( e

jω

H ( e jω ) H ( e jω ) 1 1 ) ln * ln jω 2 j H ( e ) 2 j H ( e jω )

H( z ) 1 ln 2 j H ( z ) z e jω

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3.群延时它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即： d [arg H ( e jω )] dβ( e jω ) τ ( e jω ) dω dω当τ ( e jω ) 常数时，DF 具有线性相位，即相频特性， H ( e argjω

)是ω的线性函数。

当只需考虑相频特性时，用τ ( e jω ) 表达比用arg H ( e jω )更方便。

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