12秋数学与应用数学本科《复变函数》模拟试卷及答案(二)

数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷及答案（二）

一、单项选择题（4分×5=20分）

1.若z1 (a,b),z2 (c,d) 0，则z1 z2 （ ）．

abba

(A) (,) (B) (,)

cdcda cb cac bdbc ad

,) (D) (2,) (C) (

b da dc d2c2 d2

2.若Ln( 1) （ ）．

(A) (2k 1)πi（k为整数） (B) 2kπi（k为整数） (C) πi (D) πi

6sinz

3.dz （ ）． 2

2z 10z 12z 1

(A)0 (B) 1 (C) i (D) 2πi

ez

4.点z 0为函数f(z) 2的（ ）．

z

(A) 本性奇点 (B) 可去奇点 (C) 二级极点 (D) 非孤立奇点

z

5.映射w ei Im 0, 为任意实数）将区域G:Imz 0映射为区域

z G :（ ）．

(A) w 1 (B) w 2 (C) Imw 0 (D) Imw 0

二、填空题（4分×5=20分）

1.若点集E的点都是E的E为开集．

2.设函数w f(z)定义在区域D内，z0为D内某一点，若存在一个邻域

N(z0, )，使得函数f(z)在该邻域内，则称函数f(z)在点z0解析．

3.e7mi ，其中m为整数． 4.Res(

sinz

,0) ． z

5.若函数w f(z)在区域G内解析，则它在导数 处是保角的．

三、计算题（15分×3=45分））

1.设u x2 y2 xy，试求解析函数f(z) u iv，使得u x2 y2 xy，且有f(i) 1 i．

2.计算积分 1c

(z 1)2(z2

1)

dz,c:x2 y2

2(x y)．

3.试将f(z) 5

z2 3z 2

在点z 2的去心邻域内展成罗朗级数．

四、证明题（15分）

sin

n 1

试证：sinx sin2x sinnx

x

sinnxsinx2．

2

数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷答案（二）

一、单项选择题 1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 二、填空题

1. 内 2. 处处可导 3. 1 4. 0 5. 不为零

三、计算题

1. f(z) (1 ii

2)z2 2

2. 1

c(z 1)2(z2 1)dz

πi2

3. f(z) 5

z 2 ( 1)n(z 2)n,0 z 2 1

n 0

四、证明题

证：令 A 1 cosx cos2x cosnx B sinx sin2x sinnx 于是

A iB 1 eix ei2x einx

1 ei(n 1)x

1 e

ix

1

2ie

i

n 2

x sin 1

x

x

2iei2 six2

n 1 (cnnisix

2xs isi2

x) isix2

故

sinn 1 sinx sin2x sinnx x

sinnx sinx2

2