第6讲 导数及其应用

高考理科数学第二轮复习课件

导数及其应用(1) 导数及其应用

授课人：黄定慧 授课人： 授课班级：三(16)班 16) 授课班级：

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试题回放： 试题回放：1 3 4 1 . 求曲线 f ( x) = x + 在点 x = 1 处的切线方程。 处的切线方程。 3 3

f (x) = x3 27x + 2的单调区间； 2 .求函数 的单调区间； 求函数3 3.已知函数f ( x)=x + 3ax + x既有极大值又有极小值， 4 则实数a的取值范围为————。 4.直线 直线y=a与函数 f ( x ) = x 3 3 x 的图像有相异的 直线 与函数 三个交点，则实数a的取值范围是 三个交点，则实数 的取值范围是________. 的取值范围是3 2

5.已知函数f ( x)=x sin (x ≥ 0),且f ( x) a > 0恒成立， x 则实数a的取值范围为——。由此你能否猜测出 f ( x)=x 2 x sin x在(0. + ∞)上的单调性？

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2012年浙江高考导数及其应用内容及要求 年浙江高考导数及其应用内容及要求考试内容 要求层次 A √ B C

导数的概 念及几何 意义 导 数 及 其 应 用

导数的概念 导数的几何意义 常见基本初等函数的导数公式

√ √ √ √ √ √ √

导数的运 算

导数的四则运算法则 简单的复合函数求导 (仅限f(ax+b) ) 利用导数研究函数的单调性 函数的极值、 函数的极值、最值 利用导数解决实际问题(最优化) 利用导数解决实际问题 最优化) 最优化

导数在研 究函数中 的应用

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函数是高中数学的主干知识，知识点多、覆盖面广，综合性强。 尤其是“导数”进入高中数学以来，不仅是研究函数单调性、 单调性、

极值、 零点、 极值、切线的重要工具，还可用来进一步研究函数的零点、 最值、 最值、不等式直至对函数图象的整体把握，使得函数问题充满了生机和活力，既拓宽了命题空间，也开辟了许多新的解题途径。

热点1 热点 导数的几何意义 热点2 热点 导数在研究函数性质中的应用 热点3 热点 导数在不等式问题中的应用

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1 3 4 求它在点P( 例1 已知曲线 f (x) = x + ,求它在点 (2, a)处的切 ) 3 3

线与坐标轴围成的三角形的面积—— ; 线与坐标轴围成的三角形的面积

变式1:求曲线过 P(2,4)的切线方程———— 变式1:求曲线过点P(2,4)的切线方程———— ;

变式2:若点 是曲线 上任意一点， 变式 ：若点P是曲线 y = x 2 ln x上任意一点，则 的最小距离为——。 点P到直线 y= x-2 的最小距离为 到直线 。

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解决曲线切线的相关问题，抓住三个关键点： 解决曲线切线的相关问题，抓住三个关键点： 关键点 (1) .切点是交点，既在曲线上，也在切线上； 切点是交点 切点是交点，既在曲线上，也在切线上； (2) .在切点处的导数值是切线的斜率. 是切线的斜率 在切点处的导数值是切线的斜率. (3) .分清楚

点在曲线上还是在曲线外，必要时 分清楚点在曲线上还是在曲线外 还需数形结合。 还需数形结合。 因此， 因此，切线问题的核心是抓住一个等量关系沟通 已知与待定.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为 已知与待定.设切点为 k=f ′(x0).通过切点沟通曲线与切线. .通过切点沟通曲线与切线..

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例2 已知函数 f ( x ) = x 2 ln ( 2x + 1) ,求 f ( x) 的单 调区间和最值。 调区间和最值。 变式1 在区间(-2,2) 变式 ：若函数 f ( x) = x 3ax + 2 在区间 上单调递减， 的取值范围为————; 上单调递减，则a的取值范围为 的取值范围为 ；3

变式2 的单调区间； 变式 ：求函数 f ( x) = x3 3ax + 2 的单调区间；

课后作业：若给变式2一个附加条件：-1<x<1,又该 如何思考？

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考虑复杂函数问题用导数法时“定义域先行” ★ 考虑复杂函数问题用导数法时“定义域先行”. (1)已知 已知f(x)在M上递增，则f′(x)≥0在M上恒成立； 上递增， 上恒成立； 已知 在 上递增 在 上恒成立 上递减， 上恒成立； 若f(x)在M上递减，则f′(x) ≤0在M上恒成立； 在 上递减 在 上恒成立 (2)讨论某区间上函数的最值问题，可通过画图、截取、观察获 讨论某区间上函数的最值问题， 讨论某区间上函数的最值问题 可通过画图、截取、 涉及的讨论情况一般有三种：极值点有无、大小比较、 得.涉及的讨论情况一般有三种：极值点有无、大小比较、是 否在定义域内； 否在定义域内； (3)函数求导后尝试因式分解，复杂函数中出现对数函数或分式 函数求导后尝试因式分解， 函数求导后尝试因式分解 函数时求导后一般尝试通分后再分析； 函数时求导后一般尝试通分后再分析； 注意： 上单调” 它的单调区间为M”的区别； 注意：f(x)“在区间 上单调”与“它的单调区间为 ”的区别； “在区间M上单调 注意极值与极值点的区别 注意极值与极值点的区别；对于函数f(x),“f ′(x0)=0”是“f(x)在 极值 的区别 x=x0处取得极值”的必要不充分条件 . 必要不充分条件

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(温一模T22,满分15分)已知函数f ( x) = 2 x 2 a ln x (1)若a = 4, 求函数f ( x)的极小值； (2)设函数g(x)=-cos2x,试问：在定义域内是否存在 三个不同的实数xi (i = 1, 2,3),使得f (xi )-g(xi)的值相等， 若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？4 4( x 2 1) 4( x + 1)( x 1) 解：()由已知得f ′( x) = 4 x = 1 = ( x > 0) x x x .∴ f ′( x) < 0时，0 < x < 1, f ′( x) > 0时，x > 1,∴ f ( x)极小值 =f (1)=2. 6分) ((2)若存在，令F(x)=f ( x) g ( x), 则对于某一实数m,方程F(x) =m在定义域(0,+∞)上至少有三个不等根，也即函数F′(x)= a 4 x 2 2 x sin 2 x

a f ′( x) g ′( x)=4 x 2sin 2 x = (x > 0)至少 x x 有两个不同的零点，(10分) 方程a =4 x 2 2 x sin 2 x有两不等正根

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3.已知f ( x)=-x +6x -9x, 若过点P(-1,m)3 2

可做曲线y =f ( x)的三条切线，则(-11,16)

实数m的取值范围为————。

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1.曲线的切线考查经常出现，抓住以下几点： 曲线的切线考查经常出现，抓住以下几点： 曲线的切线考查经常出现 切点即交点(既在直线上又在曲线上) (1)切点即交点(既在直线上又在曲线上); 切线的斜率即在切点处的导数； (2)切线的斜率即在切点处的导数； 分清楚点在曲线上还是在曲线外. (3)分清楚点在曲线上还是在曲线外. 对于由几类基本初等函数复合而成的函数的单调性、 2 . 对于由几类基本初等函数复合而成的函数的单调性 、 极值和最值问题运用导数这一工具来解决是便利的， 极值和最值问题运用导数这一工具来解决是便利的，关注三 次函数求导之后变为二次函数的问题， 次函数求导之后变为二次函数的问题，其中含参数问题是难 分类讨论是重要方法与手段. 点，分类讨论是重要方法与手段. 3. 分离参数法 是解决不等式恒成立的问题常见的 . 分离参数法是解决不等式恒成立的问题常见的 方法，实质是构造新函数 用导数方法求最值。 构造新函数， 方法，实质是构造新函数，用导数方法求最值。

4.讲究策略，分段得分。

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