《高等数学》教学启示

第２４卷第２期２００８年４月

忻州师范学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦ

ＸＩＮＺＨＯＵ

ＴＥＡＣＨＥＲＳ

ＵＮＩＶＥＲＳｎＹ

Ｖ０１．２４Ｎｏ．２

Ａｐｒ．２００８

《高等数学》教学启示

王

芳

（忻州师范学院，山西忻州０３４０００）

摘要：文章针对工科“高等数学”这门课在教学过程中许多章节的一些概念和原理进行深刻总结和分析，得出了一些书中所没有谈到的内容，通过这些内容的整理和分析，加深学生在学习过程中对“高等数学”这门课的概念和原理的进一步理解。

关键词：不定积分；定积分；ｇｔ分方程；通解；特解；平面方程中图分类号：Ｇ４２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１—１４９１（２００８）０２—０１０４一０３

数学是－－ｆｌ神秘而又充满趣味的课程，作为教师和学生在学习数学过程中，都应该抱着一种认真而又充满疑问的学习态度进行学习，对书中的每一部分内容不仅要彻底掌握，而且还要充分挖掘其深层的东西，从而为更好的理解数学做好坚实的铺垫。１定积分定义的理解

我们已经知道“定积分定义”可以简单概括为分割、近似、求和、取极限四个部分。其中“近似”这一步是这样形容的：

能用ｎ一∞来代替对区间的无限细分的极限过程。

总结：上面例子说明学生应该在掌握定义的同时，充分理解定义中字里行间的意义，明白每个字、每句话所起的作用，为后面的学习打下坚实的基础。２常微分方程中的通解和特解

我们已经知道微分方程中的通解和特解的具体定义。通解：微分方程的解含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同。

特解：不含任意常数的解。

记Ａ＝ｍａｘ｛厶。，如，…缸。｝，若不论对区间［Ⅱ，ｂ］怎样

分法，也不论在小区间［气．。，毡］上点袅怎样取法，只要当Ａ

我们在解微分方程时，无非就是求通解和特解，但我们更应该进一步考虑如下这样的问题：在微分方程中难道只有通解和特解两种吗？是否还存在既非通解又非特解的解呢？

答案是肯定的，确实存在既非通解又非特解的解。见下例：

不难验证：函数Ｙ＝Ｃｌｌｎｘ＋Ｃ２ｌｎｘ２是微分方程

业２，＋ｘｙ’＝０

枷时，……。

作为一名教师，应该有责任引导学生对此处区间的分法

作进一步理解。在这里Ａ珈是为了确保积分区间［Ⅱ，ｂ］无

限细分，也就意味着小区间的个数ｎ一定无限增加，即ｎ—

００

ｏ

试想，若把Ａ—加改为，ｌ一＊，是否仍能符合定积分的定义？

答案是否定的。因为小区间的个数无限增加（ｎ一∞），并不能保证区间［口，ｂ］的无限细分。例如，取分点

的解，从形式上看，这个解中含有两个任意常数，但由于

Ｙ＝Ｃ１ｌｎｘ＋Ｃｚｌｎｘ２＝Ｃ１ｌｎｘ＋２Ｃ２ｌ眦＝（Ｃｌ＋２Ｃ２）ｌｎｘ＝Ｃｌｎｘ，（Ｃ＝Ｃｌ＋２ｃ２）

通过该例说明了微分方程的解存在既非通解又非特解的解。

。

÷，手，÷，…，≠击，ｌ’其中ｎ＝１，２，…＋∞，ｎ∈ｚ

把区间【丢，１】分成ｎ个小区间，当乃一∞时，第一个小区间【丁１，手】的长度永远是ｉ１，这样的分法并没有把区间［÷，ｌ】无限细分。因此，在定义中必须说明是Ａ枷，而不

收稿日期：２００７—１１—１７

总结：这个例子告诉我们，我们在学习过程中，看待一个问题要辨证的去思考，书中谈到的要明白，没有谈到的要想一想是否也成立以及为什么？３解决不定积分的一般思路

不定积分的解法是工科“高等数学”课程中非常重要的内容，甚至是数学专业“数学分析”这门课程中的重要内容。

作者简介：王芳（１９７８一），女，河南焦作人，忻州师范学院数学系助教，主要从事基础数学研究。

第２期王芳：《高等数学》教学启示

常重要的意义。建议学生按下列三条规则来选ｕ和”。

１０５

因此熟练地解决不定积分的解法尤为显得重要，我个人在教学过程中对该部分内容有着自己如下的看法：

不定积分的主要组成部分是被积函数，被积函数的多样性决定了不定积分解法的多样性，因此解决不定积分主要是总结被积函数的特征，从而根据被积函数的特征来确定不定积分的解法。为此，我个人总结了如下口决，供大家参考：

不定积分去求解，只看被积函数就可以；被积函数很简单，基本积分公式直接用；典型例子要记牢，解题方向清晰不彷徨。下面给出被积函数不同形式时的解题方案：

（１）、当被积函数形式非常简单时，要联想用基本积分公式；

（２）、当被积函数含有下列形式之一：

～／：２一菇２√石２＋口２

ｖ石２一ｎ２

若被积函数是正整指数的幂函数和正（余）弦函数（或指数函数）的乘积时，选正整指数的幂函数为ｕ。

若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积时，设对数函数或反三角函数为Ⅱ。

若被积函数是指数函数和三角函数的乘积时，一般情况下，选任一个做为ｎ都可以，只不过计算量上有稍许差别。

上述三条规则其实也告诉我们，当被积函数是上面三条规则中所描述的情形时，可以考虑使用分部积分法。

（６）、凑微分法：被积函数中，没有象上面那样明显的外形特征时，不妨考虑用该方法。其指导思想就是要想方设法把被积表达式“凑”成微分的形式。该方法在解决不定积分题中占有较大比例，学生需要通过大量的练习才能真正掌握其方法。

总结：通过上面描述，在今后解决不定积分问题时，学生可以直接根据被积函数形式特征来很快地确定解题方案，而不再为到底该用哪种方法而犹豫彷徨。当然，由于不定积分的应用非常广泛，因此在教学任务中尤其显的非常重要。建议学生在学习这部分内容时，多做练习题是非常必要的，但要养成善于总结的好习惯，从而更好更快的掌握这部分内容。４平面方程巧记忆

我们已经知道三元一次方程是表示平面的一般方程，具体形式为：

‘Ａ并＋曰ｙ＋Ｃ＝＋Ｄ＝０

则考虑使用“三角换元法”，其中按上面被积函数的顺序，分别令髫＝ａｓｉｎｔ，髫＝ａｔａｎｔ，聋＝ａｓｅｔｔ。最后要借助“辅助三角形”进行回代。

（３）、当被积函数为假分式时，通常都要将其化为多项

ｐ

ｒｆ、

式函数与真分式有理函数苌罱（ｍ＜ｎ）的和，然后把Ｑｎ

（聋）在实数范围内分解成一次因式、二次因式的乘积，都可以用待定系数法把真分式拆成部分分式的和。

（４）、当被积函数只含有单独的三角函数时，通常是利用三角函数等式关系或万能代换来解决。这里万能代换所用到的角通常是被积函数中的半角。如下例：

（１）（２）

对于（１）式有一些特殊形式，比如：

血＋Ｂｙ＋＆＝０

例ｌ：求ｆ—等｝（ｉｘ的值

Ｊ

１十ＳｌＩｌ石

我们由（１）知道（２）也是表示平面，又易得该平面过坐标原点（０，０，０），所以（２）是表示过坐标原点的平面。又如：

撬拈ｆ【ｓｉ中习＝＿ｆ尚叫篙

－２’再才（…觚号）

：一２————Ｌ——一＋Ｃ

解法一：利用三角函数关系式

毋＋已＋Ｄ＝０（３）

（３）式也是属于（１）的一种特殊形式，从该方程可以看出，该平面上任一点坐标与戈无关，所以联想空间直角坐标系，可以得出该平面一定与戈轴平行 …… 此处隐藏：5278字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……