函数单调性极值最值与凹凸性拐点_1

高等数学 函数极值 拐点

函数单调性的判定法一、单调性的判别法 二、单调区间求法

三、小结 思考题

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一、单调性的判别法y

y f ( x)A

B

y

A y f ( x)B

o

a

f ( x ) 0

b

x

o a

f ( x ) 0

b x

定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导(1) . 如果在( a, b )内f ( x ) 0,那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0, 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.

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证

x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )

f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,

若在(a , b)内， ( x ) 0, f

则 f ( ) 0,

f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .

若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.

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例1 讨论函数y e x x 1的单调性.

解 y e x 1. 又 D : ( , ).在( ,0)内, y 0,

函数单调减少；在(0, )内, y 0,

函数单调增加 .

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.

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二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点. 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点

来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.

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例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3的单调区间.

解 D : ( , ).f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，

f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；

当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2, )上单调增加；单调区间为 ( ,1], [1,2], [ 2, ).

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例3

确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.

解 D : ( , ).f ( x ) 2 33 x , ( x 0)y 3 x2

当x 0时, 导数不存在.当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0, )上单调增加；单调区间为 ( ,0], [0, ).

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注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.

y x 3 , y x 0 0, 但在( , )上单调增加. 例如,例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x

f ( x )在[0

, )上连续, 且(0, )可导，f ( x ) 0, 在[0, )上单调增加； f (0) 0,

当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).

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三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.

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思考题若 f (0) 0 ,是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？

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思考题解答不能断定.

1 2 x 2 x sin , x 0 例 f ( x) x 0, x 0

1 f (0) lim (1 2 x sin ) 1 0 x 0 x 1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x x 0

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当 x

1

1 ( 2 k ) 2 4 f ( x ) 1 0 1 ( 2 k ) 2

时，

0.075 0.05 0.025

-0.1

-0.05 -0.025 -0.05 -0.075

0.05

0

1 当 x 2k 时，

f ( x ) 1 0

注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增.

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练习题一、填空题： 1、函数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单调区间为________ _____________. 2x 2、函数 y 在区间[-1,1]上单调________, 2 1 x 在_________上单调减. 2 2 3、函数 y x ln x 的单调区间为____________, 单减区间为_____________.二、 确定下列函数的单调区间：

10 1、 y ; 3 2 4x 9x 6x 2 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 3、 y x sin 2 x .

a ( 0 );

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三、证明下列不等式： 1、当 x 0 时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ; 2、当 x 4 时，2 x x 2 ; 1 3 3、若 x 0 ,则sin x x x . 6 四、方程 ln x ax (a 0) 有几个实根.a, 五、设 f ( x ) 在[a, b ]上连续，在( b )内 f ( x ) ,试证 x x 明：对于[a, b ]上任意两 1 , 2 有 x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) f( ) [提示：方法(1) 2 2 f ( x ) 0 , f ( x ) 单增；方法(2) f ( x ) 0 , 利用泰勒公式]

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练习题答案[ 一、1、( , 1], [ 3, ) 单调增加, 1,3] 单调减少； 2、增加,( , 1], [1, ) 3、( , 1] ,[1, ) ;[ 1,0 ), ( 0,1]; ( , 1], ( 0,1]. 1 二、1、在( ,0), ( 0, ], [1, ) 内单调减少, 2 1 在[ ,1]上单调增加； 2 2 2、在( , a ], [a , ) 内单调增加, 3 2 在[ 3 a , a ] 上单调减少；

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k k 3、在[ , ]上单调增加, 2 2 3 k k 在[ , ] 上单调减少,( k 0, 1, 2, ) . 2 3 2 2 1 四、(1)a 时没有实根； e 1 (2) 0 a 时有两个实根； e x e 1 (3)a 时只有 一个实根. e