2015年北京工业大学数学建模初赛试题

数学建模初赛试题

2015年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

参赛说明

1. 北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。

2. 请按规定的时间内上交试卷，过期无效。试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3. 由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

4. 尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。

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数学建模初赛试题

A题：交通信号灯中黄灯应亮多长时间？

让我们来考虑这样一个问题：红绿灯在亮红灯之前黄灯应该亮多长时间？在交通管理中，定期地亮一段时间的黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致无法停下的车辆通过路口。这样，红绿灯应保持足够长时间的黄灯，便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车，离路口太近，而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。

因此，当车辆驶近交叉路口时，驾驶员看到黄灯亮后，要做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，他必须有足够的停车距离；如果决定通过路口，他必须有足够的时间使他能够安全通过路口，这包括做出停车决定的时间（反应时间）。那么，为了保证交通安全，黄灯应亮多长时间呢？

黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。

刹车是一个复杂的过程，为简化计算，可将刹车过程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系数乘上汽车的重量），将刹车效果用模型来反映。

1. 建立一个黄灯亮的时间与上述因素（或部分因素）有关的数学模型，将亮黄灯的时间长度表示成上述因素（或部分因素）的函数。

2. 如果反应时间是1s，车辆的平均长度是4.5m，路口的宽度是15m，摩擦系数为0.2，试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。

3. 如果车辆的行驶速度分别为20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黄灯分别应亮多长时间？

4. 如果轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，如果摩擦系数从0.2增加到0.4时，请给出问题3中亮黄灯的时间长度。

5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20～50 km/h之间，且服从均匀分布，请计算亮黄灯的平均时间长度。

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数学建模初赛试题

B题：结冰路面铺沙

在一个村庄中，应对路面结冰的措施是向路面上铺沙防滑。图1是这个村庄的街道示意图，其中点表示街道的交汇处，边表示需要铺砂的街道，边上的数字表示每条街道的长度（单位：m）。注意：车辆只能按箭头方向行驶。

图1 村庄街道图

铺沙工作由养路站负责，养路站位于交汇点1处，铺沙所使用的卡车就在此养路站内。卡车的载沙量足够大，能够不需要中途加沙就完成所有路面的铺沙任务。由于有些街道是单行线，因此有时候可能需要多次经过一条街道。请为铺沙车选择一条路线，使得完成所有街道铺沙所需的路程最短。对于双向的街道，需要为每个方向的车道分别进行铺沙。

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数学建模初赛试题

C题：最优价格确定

一家公司在22个近似相等大小的城市尝试销售一种新的软饮料。销售价格以及在这些城市中每周的销量如表1所示。

表1：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）

1. 公司想要找出 “理想的销售价格曲线”，即在每一种可能的价格下，每周的销量是多少？

2. 在研究了试销结果后，公司将设置一个全国统一的销售价，已知每件产品的成本是1.38元，公司定价是多少时，使公司获得的利润达到最大？ 3. 对你的计算结果作可靠性分析。

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