华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷 (27)

一、单项选择题（每小题2分，共30分）。

1 4

1 21 2 3 ，则下列矩阵运算无意义的是【 】

, B , C 2 51．设矩阵A 3 44 5 6 3 6

A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB

2.设n阶方阵A满足A2 –E =0，其中E是n阶单位矩阵，则必有 【 】

A. A=A-1 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=

12

,则A*

【 A.

14 B. 1

4

C. 1 D. 1 4.设A为n阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中 【 A.必存在一个行向量为零向量

B.必存在两个行向量，其对应分量成比例

C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合

5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 A．a1 a2,a2 a3,a3 a1 B. a1,a2,2a1 3a2 C. a2,2a3,2a2 a3 D. a1,a2,a1 a3

6.向量组(I): a1, ,am(m 3)线性无关的充分必要条件是 【 】

A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关

D.存在不全为零的常数k1, ,km,使k1a1 kmam 0

7．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是

【 】A．A的行向量组线性相关 B. A的列向量组线性相关 C. A的行向量组线性无关 D. A的列向量组线性无关

】 】

】

8.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组

a1x1 a2x2 a3x3 0

b1x1 b2x2 b3x3 0

的基础解系含2个解向量，则必有 【 】

a1 a2a aa aaaa

0 B.12 0 C. 1 2 3 D. 13 0

b2 b3b1 b2b1 b2b1b2b3

2x1 x2 3 1

9.方程组 x1 2x2 x3 1 有解的充分必要的条件是 【 】

3 x 3x 2x a

123

A.

A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=2

10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是

【 】

A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则

【 】

A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解

C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解

12. n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个

A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量

13. 下列子集能作成向量空间Rn的子空间的是 【 】

A. {(a1,a2, ,an)|a1a2 0} B. {(a1,a2, ,an)|C. {(a1,a2, ,an)|a1 1} D. {(a1,a2, ,an

n

【 】

a

)| a

n1i i 1

ii

0} 1}

14. 【 】

1 0 0

1 1 2 A. 0 1 1 B.

5 2 -1 0 1 -1

C.

1 -1

D.

0 -1 1 0 0 -1

1 0 0

15.若矩阵A 0 2 a正定,则实数a的取值范围是 【 】 8 0 a

A．a< 8 B. a＞4 C．a＜-4 D．-4 ＜a＜4

二、填空题（每小题2分，共20分）。 16．设矩阵A

1 -1 3 2 0

,B , 记AT为A的转置，则ATB= 。 1 2 0 1 0 1 2 T

AA则行列式det()的值为 .

3 5

17．设矩阵A

18．要使由1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个自然数组成的排列（3729i14k5）为偶

排列，则i＝ ，k＝ 。

19．若向量组a1 (1, 2, 3 ), a2 (4, t, 6), a1 )线性相关，则常数3 ( 0, 0,

t= .

20. 向量组（1，2），（3，4）， （5，6）的秩为 .

x1 x2 x3 0 21. 齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为

2x x 3x 023 1

TT

22. 已知x1 (1, 0, 2)、x2 (3, 4, 5)是3元非齐次线性方程组Ax b的两个解向

量，则对应齐次线性方程Ax 0有一个非零解 = .

1 2 3 23. 矩阵A 0 4 5的全部特征值为 。 0 0 -6

24． 设λ是3阶实对称矩阵A的一个一重特征值，ξ1 ( 1, 1, 3 )、ξ2 ( 4, a, 12 )是A的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .

25. 已知向量组a1 (1,0,1),a2 (1,1,0),a3 (0,1,1)为R的一组基，求向量x (2,2,2)

在该组基下的坐标为 .

3

TT

三、计算题（共50分）

x

26．计算行列式D

23

112 y3的值。 …………………………………5分 23 z

27．设A可逆，且AB =A+B，其中A为A的伴随矩阵，证明B可逆，当

*

1

*

260

A 026 时,求矩阵B。…………………………………………………10分

002

x1 2x2 x3 x4 1

28．求方程组 3x1 6x2 x3 7x4 2的基础解系与通解。…………………………10分

2x 4x 2x 2x 3

234 1

x1 2x2 3

29．a取何值时，方程组 4x1 7x2 x3 10有解？在有解时求出方程组的通解。…10分

x2 x3 a

222

30．用正交变换x Qy,将二次型f 2x1 3x2 3x3 4x2x3,化为标准形，并求正交矩阵

Q， …………………………………………………………………………15分

答题纸

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共30分） 1.__ 2. __ 3. __ 4. __ 5. __ 6.__ 7. __ 8. __ 9.__ 10.__ 11.__ 12.__ 13.__ 14.__ 15.__

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

16. 17.______ 18. ______ 19. ______

20. ______ 21. ______ 22. ______ 23. ______

24. ______ 25. ______

三、计算题（共50分）