第三章 线性系统 时域分析法

第三章 线性系统 时域分析法3.1 时间响应性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析

3.4 线性系统稳定性分析3.5 线性系统的误差分析 3.6 顺馈控制的误差分析

本章作业End

本章提要时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析 的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响 应的全部信息。 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计 算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系 统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳 斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误 差的方法。

3.1 时间响应性能指标3.1.1 典型输入信号 典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、 正弦等

典型时间响应 ：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、 单位加速度响应等 系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。 过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始 状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。

稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时， 系统输出量的表现形式。 相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。

阶跃响应性能指标 动态性能c(t) 1

1. 延迟时间(delay time)td: td 稳态误差 响应曲线第一次达到其终值 0.5 一半所需时间。 0 tr 2. 上升时间(rise time) tr: t tp ts 响应从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升 到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。 3. 峰值时间(peak time) tp:响应超过终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间(response time) ts:响应到达并保持在误差带内所需的最小时间， 通常取±0.05c(∞)[或0.02c(∞)]为误差带。 5. 超调量(percent overshoot) %:响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞) c( t p ) c( ) 之差的百分比，即 % 100%

p

稳态性能：由稳态误差(steady state error) ess描述。

c( )

3.2 一阶系统的时域分析3.2.1 一阶系统(first order system)的数学模型

控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。 如RC电路: duc ( t ) i(t) R R C u ( t ) u ( t ) 微分方程为: c rdt

传递函数:

U c ( s) 1 1 U r ( s ) R C s 1 1 TsE(s) (- ) 1/Ts C(s)

ur (t )

C

uc (t )

结构图 ： R(s)

C ( s) 1 dc( t ) 一般地，将微分方程为 T c( t ) r ( t ) 传递函数为 R( s ) Ts 1 dt

的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。

3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 输入r(t)=1(t) ,输出 c ( t ) 1 eS平面 P=-1/Tj 1 t T

( t 0)

0

c(t) 初始斜率为1/T 1 0.982 0.8650.95 0.632 c(t)=1-e-t/T 0 T 2T 3T 4T (b) 单位阶跃响应曲线 t

(a) 零极点分布

特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2)初始斜率为1/T; 3)无超调；稳态误差ess=0 。 性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)

3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应

1 T t 输入 r(t)= (t),输出 c ( t ) e ( t 0) Tc(t)1 T

1

c(t )

1 t/T e T

1 2 初始斜率为 T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 0.018/T

0

2T T 3T 4T (c) 单位脉冲响应曲线

t

特点： 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 初始斜率为-1/T2; 3) 无超调；稳态误差ess=0 。

3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 1 输入r(t)=t,输出 c(t ) t T Te (t 0) 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的 曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T,即存 在跟踪误差，其数值与时间T相等。 稳态误差ess=T,初始斜率=0,稳态输出斜率=1 . t T

3.2.5 一阶系统的单位加速度响应1 输入r ( t ) t 2 2

1 2 输出c( t ) t Tt T 2 (1 e t / T ) 2

跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至 无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。

结论： 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数 T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时 间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响 应的导数。

3.3 二阶系统的时域分析3.3.1 二阶系统(second order system)的数学模型 控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。 在第二章，已得微分方程 ：d 2 c( t ) dc( t ) T 2 T c( t ) r ( t ) 2 dt dt 1 2 2 s C ( s ) sC ( s ) C ( s ) R( s ) 2 n n22 n C ( s) ( s ) 2 2 R( s ) s 2 n s n

取拉氏变换，有 整理得传递函数 又因为 故得结构图

标准形式

R(s)(- )

2 n 2 n s( s 2 n ) 2 2 n s( s 2 n ) n 1 s( s 2 n ) 2

n s( s 2 n )

C(s)

标准形式

其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比(damping ratio )。

3.3.2 二阶系统的阶跃响应 单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。

其输出的拉氏变换为2 2 n n 1 C ( s) ( s ) R( s) 2 2 s 2 n s n s s( s s1 )(s s 2 )

二阶系统特征方程

s 2 n s 02 2 n

其根决定了系统的响应形式。

s1,2 n n 2 1

S平面闭环极点分布

j p1 0 p2

s1,2 n n 2 1

p1 =c

os - n p2

ωn

j j d0

s1,2 jωn tc (t )

s1, 2 n j n 1 2= j dc (t )

单位阶跃晌应

10 (a) 无阻尼 t

1 0 (b) 欠阻尼 t

j p1= p2 0

j

p2

p1

0

s1,2= - nc(t)

s1, 2 n n 2 1 T1 , T2 (T1 T2 )

c(t)

10 (c) 临界阻尼 t

1

0(d) 过阻尼

t

3.3.2 二阶系统的阶跃响应 1. 欠阻尼(underdamping)二阶系统 (即0<ζ<1时) 系统有一对共轭复根： s1, 2 n j n 1 2= j d 阶跃响应为c( t ) 1 e n t 2

s1

j ωn j d 0

=cos - n

1

sin( d t ) ( t 0 )

c(t) 1

s2

ξ =0.3ξ =0.5

其中

arccos

d n 1

2

欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成： 稳态部分等于1,表明不存在稳态误差； 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n (即σ,特 征根实部)决定； 振荡角频率为阻尼振荡角频率 d(特征根虚部),其值由阻尼 比ζ和自然振荡角频率 n决定。

0

s1, 2 n j n 1 2= j d y

2. 临界阻尼(critical damping)二阶系统(即ζ=1 时) 系统有两个相同的负实根：s1,2= - n t 阶跃响应: c(t ) 1 e (1 n t ) 系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存 0 在稳态误差。 c(t)n

1

t

3. 无阻尼二阶系统 (即ζ=0 时) …… 此处隐藏：2119字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……