2009年高考试题——全国卷1(数学理)

2009年高考试题

1 2009年普通高等学校招生全国（卷I ）统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =

如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =

球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)

(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1i

Z ＋=2+i,则复数z=（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i (3) 不等式11

X X +-＜1的解集为（A ）｛x

}{}011x x x ??? (B){}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){}0x x ?(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A

（B ）2 （C

（D

(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则

()()a c b c -?-的最小值为（A ）2- （B

2 （C ）1-

(D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面

ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

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2 （A

）4 （B

）4（C

）4 (D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ???

，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π (9) 已知直线y=x+1与曲线y

ln()x a =+相切，则α的值为(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2（10）已知二面角α-l-β为60

o ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β

Q 到α

的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为

（11）函数

()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A)

()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

12.已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF =

B. 2

D. 3

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13. ()10x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。

15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

16. 若42x ππ

<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

） 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且 sin cos 3cos sin ,A C A C =求b

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3

18（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM

∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点

（II ）求二面角S AM B --的大小。

19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。

20（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

在数列{}n a 中，11111,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n =，求数列{}n b 的通项公式

（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

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4 （II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标

22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且11[1

0],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些

条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21102

f x -≤

≤-