2.2随机变量的分布函数

§2.2 随机变量的分布函数

定义2.2.1 设 X 是 任意一个随机变量, 称 F ( x ) P{ X x } x 为随机变量X 的分布函数.记为 X ~ F ( x )

对于随机变量 X ,其分布函数 F ( x ) 具有如下性质:(1)0 F ( x) 1

x

(2) F ( x ) 是 x 的 单调增函数. (3) lim F x 0x

即 a b 时, F ( a ) F ( b )

lim F x 1 (规范性) x

(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,

F x F (a ) 是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim

证(1)0 F ( x ) P{ X x } 1 ( 2) a b 时 , X a

x a

a

b

X b { X a } { X b}

P { X a } P { X b} 即 F ( a ) F ( b )

(1)

0 F ( x) 1

x lim F x 1

(2) F ( x ) 是 x 的 单调不减函数. 即 a b 时, F (a ) F (b) (3) lim F x 0x x

(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,

F x F (a ) 是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim x a

任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.

设随机变量 X 的分布函数已知则P{a X b } P X b X a P{ X b } P{ X a } F (b) F (a ) P {a X } 1 P { X a } 1 F ( a )ab

P{ X a } P X a X a P{ X a } P{ X a } F (a ) lim F x F (a ) F (a 0) x a

则 若随机变量X 的分布函数F ( x ) 在点a 连续，P{ X a } F (a ) lim F x F (a ) F (a ) 0x a

例1

x 0 0, 1 3 若F ( x ) 8 x , 0 x 2, 1, x 2

是随机变量X的分布函数，试求： (1) P ( X 1); (2) P ( X 1.2); (3) P (0.5 X 1.5)

解 (1) P( X 1) F (1) 1 8

3 (2) P( X 1.2) 1 P ( X 1.2) 1 F (1.2) 1 1 8 (1.2) 0.784 (3) P (0.5 X 1.5 ) P( X 1.5) P ( X 0.5)

F (1.5) F (0.5) 0.40625

作业 P36 2, 3