高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解 帮你解决课本习题的难点和重点

习题十

1. 根据二重积分性质，比较

2

D

ln(x y)d

与

D

[ln(x y)]d

的大小，其中：

（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D表示矩形区域{(x,

y)|3 x 5,0 y 2}.

解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

1 x y 2

从而

0 ln(x y) 1

故有

ln(x y) [lnx( y2

) ]

所以

D

ln(x y)d

D

[lnx( y

2

)] d

（2）区域D如图10-2所示.显然，当(x,y) D时，有x y

3.

图10-2

从而 ln(x+y)>1

故有

ln(x y) [lnx( y2

) ]

所以

D

ln(x y)d

D

[lnx( y

2

)] d

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1

）I

0D

,D {(x,y)|0 x 2, y 2}; （2）I

sin2

xsin2

D

yd ,D {(x,y)|0 x π,0 y π}; （3）I

(x2

4y2

9)d ,D {(x,y)|x2

y2

D

4}.

解：（1）因为当(x,

y) D时，有0 x 2, 0 y 2

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因而

0 xy 4.

从而

2 2d

d

故

D

D

D

d

即

2 d

D d

D

而

D

d

（σ为区域D的面积），由σ=4

得

8

D

2

2

(2) 因为0 sinx 1,0 siny 1，从而 0 sinxsiny 1

2

2

故

D

0d

2

D

sinxsinyd

2

22

D

1d

即0

D

sinxsinyd

D

d

而 π

2

所以0

D

sinxsinyd π

2

222

（3）因为当(x,y) D时，0 x y 4所以

2

2

2

2

9 x 4y 9 4(x y) 9 25

故

2

D

9d

D

(x 4y 9)d

2

22

D

25d

即

9

D

(x 4y 9)d 25

2

而

π 2 4π 36π

2

所以

D

(x 4y 9)d 100π

22

3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1

）

D

(a

,

D {(x,y)|x y a}; D {(x,y)|x y a}.

在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以

2

2

2

222

（2

）

D

,

解：（1

）

D

(a ,

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D

(a

13

πa

3

（2

）

D

在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，

故

D

231

2

πa.

3

4. 设f(x，y)为连续函数，求lim

r 0

πr

D

f(x,y)d ,D {(x,y)|(x x0) (y y0) r}

222

.

解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得， ( , ) D,使得

D

f(x,y)d f( , ) πr f( , )

0

2

2

又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r时，(

, ) (x0,y0),

lim

于是：

1πr

2

r 0

D

f(x,y)d lim

1πr

2

r 0

πrf( , ) limf( , )

r 0

( , ) (x0,y0)

lim

f( , ) f(x0,y0)

5. 画出积分区域，把

D

f(x,y)d

化为累次积分：

（1）D {(x,y)|x y 1,y x 1,y 0};

2

(2)

D {(x,y)|y x 2,x y} D {(x,y)|y

2x

,y 2x,x 2}

(3)

解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为

10

1 yy 1

y 1 x 1 y,f(x,y)dx

0 y 1.

所以

D

f(x,y)d

dy

(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为

y x y 2,

2

1 y

2.

图10-3 图10-4

所以

D

f(x,y)d

2 1

dy

y 2y

2

f(x,y)dx y

2x

的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线

（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线

y

2x

与x=2的交点为（2，1），区域D

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可表示为

2x

y 2x,1 x

2.

图10-5

,y)d

2

2x

所以

D

f(x1

dx 2f(x,y)dy.

x

6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： 2（1）

(2) 0

dy

2yy

2

f(x,y)dx;

e

1

dx

lnx

f(x,y)dy

;

1

(3)

f(x,y)dx; (4)

dy3 2y

π0

dx

sinx sin

xf(x,y)dy

;

2

1

2y

(5)

dy

f(x,y)dy

3

1

dy

3 y

f(x,y)dx.

解：（1）相应二重保健的积分区域为D：0 y 2,

y2

x 2y.如图10-6所示.

图10-6

D亦可表示为：

0 x 4,

x2

y.

24所以

dy

2yy

2

f(x,y)dx

0

dxx

f(x,y)dy.

2

(2) 相应二重积分的积分区域D：1 x e,0 y lnx.如图10-7所示.

图10-7

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D亦可表示为：

0 y 1,ey

x e ,

e

lnx

所以

1

dx

f(x,y)dy

1

dy

e

e

y

f(x,y)dx

(3) 相应二重积分的积分区域D

为：0 y 1, x 3 2y,如图10-8所示.

图10-8

D …… 此处隐藏：7394字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……