高等数学 函数的单调性与极值.

第三章 函数的极值与导数第三讲

【复习与思考】一、函数的单调性与导数符号的关系导数大于零f (x)>0 ,函数f (x)单调增加 导数小于零f (x)<0 ,函数f (x)单调减少。y f (x)=0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0 f (x)<0

f (x)<0 f (x)<0 x0 x

O

练习 讨论 y 2 x 解1 .定义域2. y 2

8 x

的单调性 .

: ( , 0 ) ( 0 , )8 x2

2 x2

( x 4)2

3 .令 y 0 , 得

4.列表分析 x( , 2)

x1 2 , x 2 2 ,( 2 , 0)0

20

( 0 , 2)

20

(2, )

y

y

5.

综上所述 , 函数 y 2 x

8 x; .

在 ( , 2 ) , (2, ) 内单调增加 在 ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) 内单调减少

列表可使问题明朗化

【复习与思考】二、导数的简单应用1. 导数在几何中的简单应用(1) 求曲线 y f ( x) 在某点处的切线方程和法线方程. (2) 求两条相交的曲线在交点处的交角.

2. 导数在物理学中的简单应用(1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率. ( 2) 求变量间的相关变化率.

3。求函数的最大最小值问题。

十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角发射炮弹 时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。

【函数极值】一、函数极值的定义yy f ( x)

称为极值点

ay

x1

o

x2

x4

x5

x6

b

x

称f (x2)为极大值

y

极小值f (x1)ox2

x

o

x

6

x

函数的极大值与极小值统称为极值,使函 数取得极值的点称为极值点.

函数极值怎么定义？ 有谁来说一说.

极值定义请同学们自己看书.

【函数极值的定义】设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0)(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0) 极大值与极小值统称为极值， x0叫做函数的极值点。

yf ( x3 )

f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值， 并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。

【关于极值概念的几点说明】(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;

(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;(4) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况。

【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?yf ( x3 )

f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

【问题探究】y

问题:函数y=f(x)在极

值点的导数值为多少?

问题:f (x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？y

oyx0

x

x0

oy

x

(是极值点情形) ox0

y

x

o

x0

x

O

x0

x

(不是极值点情形)驻点只是函数的极值可 疑点.

使得函数导数不存在的点也是极值可疑点 .

观察与思考：

如何找极值点？yy f ( x)

找单调上升，下降分界点 导数等于零的点和不可导点.

f (x)全部零点(驻点)或不可导点

o

x2

x3

x4

x5

x6

b x

判断 极值可疑点

请同学总结求极值的步骤

三.求函数y = f (x)极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域( 2 ) 求导数 f ( x );

(3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点；

(4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列 成 表格 ,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； (5)求出极值点处的函数值，得到极值.

四、例题讲解例1 讨论 y 2 x 8 x 的单调性 .极值

解

1 .定义域 : ( , 0 ) ( 0 , )2. y 2 8 x2

2 x2

( x 4)2

3 .令 y 0 , 得

x1 2 , x 2 2 , 20极 大 值

4.

x

( , 2)

( 2 , 0)

0

( 0 , 2)

20极 小 值

(2, )

y

y

5. 极大值

f ( 2 ) 8,

极小值

f (2)

8.