清华大学本校用理论力学课件12-3 刚体动力学方程

清华大学本校用的理论力学课件不外传的,考清华的研究生必看

第3节刚体动力学方程

2013年4月22日

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定点运动刚体的欧拉角描述

第12章

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

z

y

G

惯性系：O 固连系：Oxyz

mgO

x

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对点O的动量矩定理

第12章

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

dLo ω Lo M o dt

LO J

J Lo M o在主轴坐标系中的投影式(欧拉动力学方程)

J x x J z J y y z M Ox J y y J x J z z x M Oy J J J M z z y x y x Oz Mo Mo (t, , , , , , )

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刚体定点运动的欧拉方程

第12章 欧拉运动学方程

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

x sin sin cos y sin cos sin z cos 方程组封闭，可求解动力学两大基本问题 刚体一般运动可用质心运动定理及相对质 心的欧拉动力学方程联合求解

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匀速转动刚体的动约束力

第12章

动量矩定理ω k

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

Lo J xz i J yz j J z kdLo ω Lo J yz 2i J xz 2 j dt

J yz 2 mx ( Fi ) N y l J xz 2 my ( Fi ) N xl 0 mz ( Fi )

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匀速转动刚体的动约束力

第12章

质心运动定理 mxc 2 Fxi N x N x myc 2 Fyi N y N y 0 Fzi N z

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

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匀速转动刚体的动约束力

第12章 联立求解 N x my Fi ) / l J xz 2 / l ( 三 N y mx ( Fi ) / l J yz 2 / l 维 N x Fxi my ( Fi ) / l J xz 2 / l mxc 2 刚 N y Fyi mx ( Fi ) / l J yz 2 / l myc 2 N z Fzi 体

动 力 学 基 础

轴承反力中红色各项为与运动有关的轴承 动反力，它们与 2 成正比。高速转动时， 刚体对轴承的动压力可达静压力的数百倍。 轴承动反力反映了刚体对转轴的动力不对 称性 转子的动平衡 避免出现轴承动反力的条件 是：刚体的转轴为刚体的中心惯性主轴

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转子的动平衡

第12章

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

动不平衡的转子

对转子进行动平衡

J yz 0

J yz 0

附加质量以改变整个转子的质量分布，使转 轴成为中心惯性主轴返回

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例1

第12章

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯 量为A、 A、 C,在转轴AB上有安装偏角a。

求：以角速度 匀速转动时A、B轴承的动 反力

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例1

解ω sin j1 cos k1

第12章 建立结体坐标系Cx y z ,基向量i、j、k 1 1 1

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

对质心的动量矩LC J x1 x1i1 J y1 y1 j1 J z1 z1k1

dLC ω LC ( A C) 2 sin cos i1 dt

A sin j1 C cos k1

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例1

解

第12章

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

M Cx1 l ( N Ay N By ) 2 ( A C ) 2 sin cos M Cy1 l cos ( N Bx N Ax ) 2 0 M Cz1 l sin ( N Bx N Ax ) 2 0

质心运动定理N Ax N Bx 0, N Ay N By 0

N Ax 0, N Bx 0 N Ay N By A C 2 sin cos l

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例2

第12章 已知：研磨机滚子的 W, R , , r, J = C z

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

求：滚子对盘面的动压力

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例2

解r 2

第12章

, R ,

三 维 刚 体 动 力 学 基 础

ω j k

L J y j J z k dL J ( j k ) J i CR 2 i z z dt rM N Ri

N M / R C 2 / r

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第12章

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