2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的面积和

1 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积

1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来.

2.准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法.(重点)

3.掌握简单组合体侧面积的计算.(难点

)

[基础·初探]

教材整理1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积

阅读教材P 44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以上部分，完成下列问题.

圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积等于( )

A.72

B.42π

C.67π

D.72π

【解析】 S 圆台侧＝πl (r 1＋r 2)＝π×6×(3＋4)＝42π.

【答案】 B

教材整理2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

2 阅读教材P 44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以下至P 45“例1”以上部分，完成下列问题.

正三棱台的两个底面边长分别等于8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm.求它的侧面积.

【解】 正三棱台的三个侧面是全等的等腰梯形，梯形的高h ＝

132－? ????18－822

＝12 cm ，

所以S 侧＝12×(3×18＋3×8)×12＝468 cm 2.

[小组合作型]

5 cm ，BC ＝1

6 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

3 【导学号：39292045】

图1­7­1

【精彩点拨】 分析几何体的形状――――――――→选择表面积公式

求表面积

【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋－2＝13(cm)，

∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162

＝532π(cm 2).

1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，

因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键.

2.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积.

[再练一题]

1.圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )

A.4πS

B.2πS

C.πS

D.233

πS 【解析】 设底面半径为r ，则S ＝πr 2，则r ＝

S π，所以底面周长为2πr ＝2πS π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr ＝2S

π

·π， ∴S 侧＝2πr ·l ＝(2πr )2＝4π2·r 2＝4π2?

????S π2

＝4πS .

【答案】 A

正三棱锥S

­ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三

棱锥的表面积.

【精彩点拨】 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积.

4 【自主解答】 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，

过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.

因为S 侧＝2S 底，

所以12×3a ×h ′＝34

a 2×2， 所以a ＝3h ′.

因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2，

所以32＋? ????36×3h ′2

＝h ′2， 所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6，

所以S 底＝34a 2＝34

×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183，

则S 表

＝S 侧＋S 底＝27 3.

1.正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，

只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单.

2.多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和.对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解.

[再练一题]

2.已知正四棱台上底面边长为4 cm ，侧棱和下底面边长都是8 cm ，求它的侧面积.

【解】 法一：在Rt△B 1FB 中，

B 1F ＝h ′，

BF ＝12(8－4)＝2(cm)，

B 1B ＝8(cm)，

∴B 1F ＝82－22＝215(cm)，

∴h ′＝B 1F ＝215(cm)，

∴S 正棱台侧＝12

×4×(4＋8)×215＝4815(cm 2). 法二：延长正四棱台的侧棱交于点P ，如图，设PB 1＝x (cm)，

则x

x ＋8＝

4

8，得x ＝8(cm)，

5 ∴PB 1＝B 1B ＝8(cm)，

∴E 1为PE 的中点，

∴PE 1＝82－22

＝215(cm). PE ＝2PE 1＝415(cm)，

∴S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧

＝4×12×8×PE －4×12

×4×PE 1 ＝4×12×8×415－4×12×4×215 ＝4815(cm 2

).

[探究共研型]

探究1 如图一个底面直径为1的圆柱形孔，求所得几何体的表面积.

图1­7­2

【提示】 几何体的表面积为S ＝6×22－π×0.52

×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.

探究2 一个正方体，以其相对的两个面的中心连线为轴钻一个圆柱形的孔，问所得到的几何体的表面积与原正方体的表面积相比，有何变化？

【提示】 设正方体的棱长为a ，圆柱的底面半径为R ，

则正方体的表面积为S 1＝6a 2，所得到的几何体的表面积为S 2＝6a 2－2πR 2＋2πRa . 所以S 1－S 2＝2πR 2－2πRa ＝2πR (R －a )，

又因为R ＜1

2

a ，所以S 1－S 2＜0，所以S 1＜S 2. 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2

a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积.

6 图1­7­3

【精彩点拨】 该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可.

【自主解答】 如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥.

在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，

AB ＝(2a －a )tan 60°＝3a ，DC ＝

2a －a cos 60°

＝2a . 又DD ′＝DC ＝2a ，

∴S 表＝S 圆环＋S 圆柱侧＋S 圆C ＋S 圆锥侧 ＝[π·(2a )2－πa 2]＋2π·2a ·3a ＋π·(2a )2

＋π·a ·2a

＝(9＋43)πa 2

.

1.求组合体的表面积的三个基本步骤：

(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么.

(2)根据组合体的组成形式设计计算思路.

(3)根据公式计算求值.

2.求组合体的表面积的解题策略：

(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.

(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化

.

[再练一题]

3.如图1­7­4△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积

.

图1­7­4

【解】 过C 点作CD ⊥AB 于点D .如图所示，△ABC 以AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，

7

底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845

π

.

1.已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此 …… 此处隐藏：2262字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……